Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} y {(y^{2} + 1)}^{5} d y$

Étape 1

Laissez $u = y^{2} + 1$ . Alors $d u = 2 y d y$ , donc $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Laissez $u = y^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez $y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$2 y + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $2 y$ et $0$ .

$2 y$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $y$ dans $u = y^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Étape 1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Étape 1.3.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $y$ dans $u = y^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Étape 1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = 1 + 1$

Étape 1.5.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$u_{upper} = 2$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{2} u^{5} \frac{1}{2} d u$

Étape 2

Associez $u^{5}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{u^{5}}{2} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{5} d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{5}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{2}$

Étape 5

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Évaluez $\frac{1}{6} u^{6}$ sur $2$ et sur $1$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{6} \cdot 2^{6}) - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Étape 5.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Élevez $2$ à la puissance $6$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 64 - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Étape 5.2.2

Associez $\frac{1}{6}$ et $64$ .

$\frac{1}{2} (\frac{64}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Étape 5.2.3

Annulez le facteur commun à $64$ et $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $64$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 (32)}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Étape 5.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Étape 5.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Étape 5.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Étape 5.2.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} - \frac{1}{6} \cdot 1)$

Étape 5.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} - \frac{1}{6})$

Étape 5.2.6

Pour écrire $\frac{32}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6})$

Étape 5.2.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.7.1

Multipliez $\frac{32}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{32 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6})$

Étape 5.2.7.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{32 \cdot 2}{6} - \frac{1}{6})$

Étape 5.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{32 \cdot 2 - 1}{6}$

Étape 5.2.9

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.9.1

Multipliez $32$ par $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{64 - 1}{6}$

Étape 5.2.9.2

Soustrayez $1$ de $64$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{63}{6}$

Étape 5.2.10

Annulez le facteur commun à $63$ et $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.10.1

Factorisez $3$ à partir de $63$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 (21)}{6}$

Étape 5.2.10.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.10.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 2}$

Étape 5.2.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 2}$

Étape 5.2.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{21}{2}$

Étape 5.2.11

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{21}{2}$ .

$\frac{21}{2 \cdot 2}$

Étape 5.2.12

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{21}{4}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{21}{4}$

Forme décimale :

$5.25$

Forme de nombre mixte :

$5 \frac{1}{4}$

Étape 7