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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 2
Étape 2.1
Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.
Étape 2.1.1
Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place .
Étape 2.1.2
Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place .
Étape 2.1.3
Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est .
Étape 2.1.4
Annulez le facteur commun de .
Étape 2.1.4.1
Annulez le facteur commun.
Étape 2.1.4.2
Divisez par .
Étape 2.1.5
Simplifiez chaque terme.
Étape 2.1.5.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 2.1.5.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 2.1.5.1.2
Divisez par .
Étape 2.1.5.2
Annulez le facteur commun à et .
Étape 2.1.5.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.5.2.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 2.1.5.2.2.1
Multipliez par .
Étape 2.1.5.2.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 2.1.5.2.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 2.1.5.2.2.4
Divisez par .
Étape 2.1.5.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.1.5.4
Déplacez à gauche de .
Étape 2.1.6
Remettez dans l’ordre et .
Étape 2.2
Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.
Étape 2.2.1
Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.
Étape 2.2.2
Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.
Étape 2.2.3
Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.
Étape 2.3
Résolvez le système d’équations.
Étape 2.3.1
Réécrivez l’équation comme .
Étape 2.3.2
Remplacez toutes les occurrences de par dans chaque équation.
Étape 2.3.2.1
Remplacez toutes les occurrences de dans par .
Étape 2.3.2.2
Simplifiez le côté droit.
Étape 2.3.2.2.1
Multipliez par .
Étape 2.3.3
Résolvez dans .
Étape 2.3.3.1
Réécrivez l’équation comme .
Étape 2.3.3.2
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 2.3.4
Résolvez le système d’équations.
Étape 2.3.5
Indiquez toutes les solutions.
Étape 2.4
Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans par les valeurs trouvées pour et .
Étape 2.5
Supprimez le zéro de l’expression.
Étape 3
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 4
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 5
Étape 5.1
Laissez . Déterminez .
Étape 5.1.1
Différenciez .
Étape 5.1.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 5.1.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 5.1.4
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 5.1.5
Additionnez et .
Étape 5.2
Remplacez la limite inférieure pour dans .
Étape 5.3
Soustrayez de .
Étape 5.4
Remplacez la limite supérieure pour dans .
Étape 5.5
Soustrayez de .
Étape 5.6
Les valeurs déterminées pour et seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.
Étape 5.7
Réécrivez le problème en utilisant , et les nouvelles limites d’intégration.
Étape 6
Étape 6.1
Retirez du dénominateur en l’élevant à la puissance .
Étape 6.2
Multipliez les exposants dans .
Étape 6.2.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 6.2.2
Multipliez par .
Étape 7
Selon la règle de puissance, l’intégrale de par rapport à est .
Étape 8
Étape 8.1
Laissez . Déterminez .
Étape 8.1.1
Différenciez .
Étape 8.1.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 8.1.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 8.1.4
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 8.1.5
Additionnez et .
Étape 8.2
Remplacez la limite inférieure pour dans .
Étape 8.3
Soustrayez de .
Étape 8.4
Remplacez la limite supérieure pour dans .
Étape 8.5
Soustrayez de .
Étape 8.6
Les valeurs déterminées pour et seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.
Étape 8.7
Réécrivez le problème en utilisant , et les nouvelles limites d’intégration.
Étape 9
L’intégrale de par rapport à est .
Étape 10
Étape 10.1
Évaluez sur et sur .
Étape 10.2
Évaluez sur et sur .
Étape 10.3
Simplifiez
Étape 10.3.1
Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 10.3.2
Déplacez le moins un du dénominateur de .
Étape 10.3.3
Multipliez par .
Étape 10.3.4
Multipliez par .
Étape 10.3.5
Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 10.3.6
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 10.3.7
Écrivez comme une fraction avec un dénominateur commun.
Étape 10.3.8
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 10.3.9
Soustrayez de .
Étape 10.3.10
Associez et .
Étape 10.3.11
Multipliez par .
Étape 10.3.12
Annulez le facteur commun à et .
Étape 10.3.12.1
Factorisez à partir de .
Étape 10.3.12.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 10.3.12.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 10.3.12.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 10.3.12.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 10.3.12.2.4
Divisez par .
Étape 11
Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, .
Étape 12
Étape 12.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 12.1.1
La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre et est .
Étape 12.1.2
La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre et est .
Étape 12.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 12.3
Multipliez par .
Étape 13
Le résultat peut être affiché en différentes formes.
Forme exacte :
Forme décimale :
Étape 14