Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{4} 3 \sqrt{x} d x$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4})$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4})$

Étape 4.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Évaluez $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ sur $4$ et sur $1$ .

$3 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$3 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 4.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 4.2.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 4.2.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$3 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 4.2.2.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 4.2.2.5

Multipliez $2$ par $8$ .

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 4.2.2.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3})$

Étape 4.2.2.7

Multipliez $2$ par $1$ .

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2}{3})$

Étape 4.2.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \frac{16 - 2}{3}$

Étape 4.2.2.9

Soustrayez $2$ de $16$ .

$3 (\frac{14}{3})$

Étape 4.2.2.10

Associez $3$ et $\frac{14}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3}$

Étape 4.2.2.11

Multipliez $3$ par $14$ .

$\frac{42}{3}$

Étape 4.2.2.12

Annulez le facteur commun à $42$ et $3$ .

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Étape 4.2.2.12.1

Factorisez $3$ à partir de $42$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3}$

Étape 4.2.2.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.12.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3 (1)}$

Étape 4.2.2.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 14}{3 \cdot 1}$

Étape 4.2.2.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{14}{1}$

Étape 4.2.2.12.2.4

Divisez $14$ par $1$ .

$14$

Étape 5