Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{8} \frac{8}{3 x^{5}} d x$

Étape 1

Comme $\frac{8}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{8}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{8}{3} \int_{1}^{8} \frac{1}{x^{5}} d x$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1

Retirez $x^{5}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{8}{3} \int_{1}^{8} {(x^{5})}^{- 1} d x$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8}{3} \int_{1}^{8} x^{5 \cdot - 1} d x$

Étape 2.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{8}{3} \int_{1}^{8} x^{- 5} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{4} x^{- 4}]_{1}^{8}$

Étape 4

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.1

Évaluez $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ sur $8$ et sur $1$ .

$\frac{8}{3} ((- \frac{1}{4} \cdot 8^{- 4}) + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8^{4}} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Étape 4.2.2

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4096} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Étape 4.2.3

Multipliez $\frac{1}{4096}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{4096 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Étape 4.2.4

Multipliez $4096$ par $4$ .

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Étape 4.2.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{1}{4} \cdot 1)$

Étape 4.2.6

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{1}{4})$

Étape 4.2.7

Pour écrire $\frac{1}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4096}{4096}$ .

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4096}{4096})$

Étape 4.2.8

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $16384$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.2.8.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{4096}{4096}$ .

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{4096}{4 \cdot 4096})$

Étape 4.2.8.2

Multipliez $4$ par $4096$ .

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{4096}{16384})$

Étape 4.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8}{3} \cdot \frac{- 1 + 4096}{16384}$

Étape 4.2.10

Additionnez $- 1$ et $4096$ .

$\frac{8}{3} \cdot \frac{4095}{16384}$

Étape 4.2.11

Multipliez $\frac{8}{3}$ par $\frac{4095}{16384}$ .

$\frac{8 \cdot 4095}{3 \cdot 16384}$

Étape 4.2.12

Multipliez $8$ par $4095$ .

$\frac{32760}{3 \cdot 16384}$

Étape 4.2.13

Multipliez $3$ par $16384$ .

$\frac{32760}{49152}$

Étape 4.2.14

Annulez le facteur commun à $32760$ et $49152$ .

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Étape 4.2.14.1

Factorisez $24$ à partir de $32760$ .

$\frac{24 (1365)}{49152}$

Étape 4.2.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.14.2.1

Factorisez $24$ à partir de $49152$ .

$\frac{24 \cdot 1365}{24 \cdot 2048}$

Étape 4.2.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{24 \cdot 1365}{24 \cdot 2048}$

Étape 4.2.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1365}{2048}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1365}{2048}$

Forme décimale :

$0.66650390 \dots$

Étape 6