Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{4} \sqrt{16 x^{5}} d x$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Réécrivez $16 x^{5}$ comme ${(4 x^{2})}^{2} x$ .

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Étape 1.1.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\int_{1}^{4} \sqrt{4^{2} x^{5}} d x$

Étape 1.1.2

Factorisez $x^{4}$ .

$\int_{1}^{4} \sqrt{4^{2} (x^{4} x)} d x$

Étape 1.1.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$\int_{1}^{4} \sqrt{4^{2} ({(x^{2})}^{2} x)} d x$

Étape 1.1.4

Réécrivez $4^{2} {(x^{2})}^{2}$ comme ${(4 x^{2})}^{2}$ .

$\int_{1}^{4} \sqrt{{(4 x^{2})}^{2} x} d x$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\int_{1}^{4} 4 x^{2} \sqrt{x} d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} 4 x^{2} x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} 4 (x^{\frac{1}{2}} x^{2}) d x$

Étape 2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1}{2} + 2} d x$

Étape 2.2.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} d x$

Étape 2.2.4

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} d x$

Étape 2.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1 + 2 \cdot 2}{2}} d x$

Étape 2.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1 + 4}{2}} d x$

Étape 2.2.6.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{5}{2}} d x$

Étape 3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int_{1}^{4} x^{\frac{5}{2}} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{5}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}$ .

$4 (\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}]_{1}^{4})$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Associez $\frac{2}{7}$ et $x^{\frac{7}{2}}$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7}]_{1}^{4})$

Étape 5.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Évaluez $\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7}$ sur $4$ et sur $1$ .

$4 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{7}{2}}}{7}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Étape 5.2.2

Simplifiez

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Étape 5.2.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$4 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Étape 5.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{7}{2})}}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Étape 5.2.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$4 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{7}{2})}}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Étape 5.2.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$4 (\frac{2 \cdot 2^{7}}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Étape 5.2.2.4

Élevez $2$ à la puissance $7$ .

$4 (\frac{2 \cdot 128}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Étape 5.2.2.5

Multipliez $2$ par $128$ .

$4 (\frac{256}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Étape 5.2.2.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 (\frac{256}{7} - \frac{2 \cdot 1}{7})$

Étape 5.2.2.7

Multipliez $2$ par $1$ .

$4 (\frac{256}{7} - \frac{2}{7})$

Étape 5.2.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 \frac{256 - 2}{7}$

Étape 5.2.2.9

Soustrayez $2$ de $256$ .

$4 (\frac{254}{7})$

Étape 5.2.2.10

Associez $4$ et $\frac{254}{7}$ .

$\frac{4 \cdot 254}{7}$

Étape 5.2.2.11

Multipliez $4$ par $254$ .

$\frac{1016}{7}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1016}{7}$

Forme décimale :

$145.14285714 \dots$

Forme de nombre mixte :

$145 \frac{1}{7}$

Étape 7