Calcul infinitésimal Exemples

$\int u^{2} \sin (2 u) d u$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int w d v = w v - \int v d w$ , où $w = u^{2}$ et $dv = \sin (2 u)$ .

$u^{2} (- \frac{1}{2} \cos (2 u)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 u) (2 u) d u$

Étape 2

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Étape 2.1

Associez $\cos (2 u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$u^{2} (- \frac{\cos (2 u)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 u) (2 u) d u$

Étape 2.2

Associez $u^{2}$ et $\frac{\cos (2 u)}{2}$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 u) (2 u) d u$

Étape 3

Comme $- \frac{1}{2} \cdot 2$ est constant par rapport à $u$ , placez $- \frac{1}{2} \cdot 2$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \int \cos (2 u) (u) d u)$

Étape 4

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Étape 4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (- 2 (\frac{1}{2}) \int \cos (2 u) (u) d u)$

Étape 4.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (\frac{- 2}{2} \int \cos (2 u) (u) d u)$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \cos (2 u) (u) d u)$

Étape 4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \cos (2 u) (u) d u)$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \cos (2 u) (u) d u)$

Étape 4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (\frac{- 1}{1} \int \cos (2 u) (u) d u)$

Étape 4.3.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - - \int \cos (2 u) (u) d u$

Étape 4.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + 1 \int \cos (2 u) (u) d u$

Étape 4.5

Multipliez $\int \cos (2 u) (u) d u$ par $1$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \int \cos (2 u) (u) d u$

Étape 5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int w d v = w v - \int v d w$ , où $w = u$ et $dv = \cos (2 u)$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + u (\frac{1}{2} \sin (2 u)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 u) d u$

Étape 6

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (2 u)$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + u \frac{\sin (2 u)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 u) d u$

Étape 6.2

Associez $u$ et $\frac{\sin (2 u)}{2}$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 u) d u$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - (\frac{1}{2} \int \sin (2 u) d u)$

Étape 8

Laissez $u_{1} = 2 u$ . Alors $d u_{1} = 2 d u$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d u$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 8.1

Laissez $u_{1} = 2 u$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $2 u$ .

$\frac{d}{d u} [2 u]$

Étape 8.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $u$ , la dérivée de $2 u$ par rapport à $u$ est $2 \frac{d}{d u} [u]$ .

$2 \frac{d}{d u} [u]$

Étape 8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 8.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{2} \int \sin (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 9

Associez $\sin (u_{1})$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin (u_{1})}{2} d u_{1}$

Étape 10

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sin (u_{1}) d u_{1})$

Étape 11

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Étape 11.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \sin (u_{1}) d u_{1}$

Étape 11.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{4} \int \sin (u_{1}) d u_{1}$

Étape 12

L’intégrale de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \cos (u_{1})$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{1}) + C)$

Étape 13

Réécrivez $- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{1}) + C)$ comme $- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + C$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + C$

Étape 14

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 u$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} + \frac{\cos (2 u)}{4} + C$

Étape 15

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{2} u^{2} \cos (2 u) + \frac{1}{2} u \sin (2 u) + \frac{1}{4} \cos (2 u) + C$