Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{8}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{8}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{8}]$ .

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Étape 2.1

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{y^{4}}{8}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{8} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{1}{8} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1}{8} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Étape 2.3

Associez $4$ et $\frac{1}{8}$ .

$\frac{4}{8} y^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Étape 2.4

Associez $\frac{4}{8}$ et $y^{3}$ .

$\frac{4 y^{3}}{8} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Étape 2.5

Annulez le facteur commun à $4$ et $8$ .

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Étape 2.5.1

Factorisez $4$ à partir de $4 y^{3}$ .

$\frac{4 (y^{3})}{8} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Étape 2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{4 y^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Étape 2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Étape 2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$ .

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Étape 3.1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{1}{4 y^{2}}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{1}{y^{2}}$ comme ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{- 1}$ et $g (y) = y^{2}$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y^{2}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y^{2}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y))$

Étape 3.5

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y))$

Étape 3.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- y^{- 4} (2 y))$

Étape 3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 y^{- 4} y)$

Étape 3.7

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 (y^{1} y^{- 4}))$

Étape 3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 y^{1 - 4})$

Étape 3.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 y^{- 3})$

Étape 3.10

Associez $- 2$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 2}{4} y^{- 3}$

Étape 3.11

Associez $\frac{- 2}{4}$ et $y^{- 3}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 2 y^{- 3}}{4}$

Étape 3.12

Placez $y^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 2}{4 y^{3}}$

Étape 3.13

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $4$ .

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Étape 3.13.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{2 (- 1)}{4 y^{3}}$

Étape 3.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.13.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 y^{3}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{2 (- 1)}{2 (2 y^{3})}$

Étape 3.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (2 y^{3})}$

Étape 3.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 1}{2 y^{3}}$

Étape 3.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{y^{3}}{2} - \frac{1}{2 y^{3}}$