Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sec (2 x) + \tan (2 x) d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \sec (2 x) d x + \int \tan (2 x) d x$

Étape 2

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Alors $d u_{1} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 2.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \sec (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int \tan (2 x) d x$

Étape 3

Associez $\sec (u_{1})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sec (u_{1})}{2} d u_{1} + \int \tan (2 x) d x$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \sec (u_{1}) d u_{1} + \int \tan (2 x) d x$

Étape 5

L’intégrale de $\sec (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| \sec (u_{1}) + \tan (u_{1}) |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| \sec (u_{1}) + \tan (u_{1}) |) + C) + \int \tan (2 x) d x$

Étape 6

Laissez $u_{2} = 2 x$ . Alors $d u_{2} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 6.1

Laissez $u_{2} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 6.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 6.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| \sec (u_{1}) + \tan (u_{1}) |) + C) + \int \tan (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 7

Associez $\tan (u_{2})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| \sec (u_{1}) + \tan (u_{1}) |) + C) + \int \frac{\tan (u_{2})}{2} d u_{2}$

Étape 8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\ln (| \sec (u_{1}) + \tan (u_{1}) |) + C) + \frac{1}{2} \int \tan (u_{2}) d u_{2}$

Étape 9

L’intégrale de $\tan (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| \sec (u_{2}) |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| \sec (u_{1}) + \tan (u_{1}) |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| \sec (u_{2}) |) + C)$

Étape 10

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| \sec (u_{1}) + \tan (u_{1}) |) + \frac{1}{2} \ln (| \sec (u_{2}) |) + C$

Étape 11

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 11.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$\frac{1}{2} \ln (| \sec (2 x) + \tan (2 x) |) + \frac{1}{2} \ln (| \sec (u_{2}) |) + C$

Étape 11.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$\frac{1}{2} \ln (| \sec (2 x) + \tan (2 x) |) + \frac{1}{2} \ln (| \sec (2 x) |) + C$