Calcul infinitésimal Exemples

$e^{4 x} + e^{- x}$

Étape 1

Écrivez $e^{4 x} + e^{- x}$ comme une fonction.

$f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{4 x} + e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 2.2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 2.2.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 2.2.5

Déplacez $4$ à gauche de $e^{4 x}$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- x$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$4 e^{4 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- x$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Étape 2.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Étape 2.3.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Étape 2.3.6

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - e^{- x}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 e^{4 x} - e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 e^{4 x}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 3.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $4 x$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (4 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Étape 3.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 4 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (4 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Étape 3.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $4 x$ .

$f'' (x) = 4 (e^{4 x} \frac{d}{d x} (4 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Étape 3.2.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Étape 3.2.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$f'' (x) = 4 (e^{4 x} \cdot 4) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Étape 3.2.6

Déplacez $4$ à gauche de $e^{4 x}$ .

$f'' (x) = 4 (4 \cdot e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Étape 3.2.7

Multipliez $4$ par $4$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{- x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - \frac{d}{d x} e^{- x}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- x$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x))$

Étape 3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x))$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- x$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Étape 3.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Étape 3.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

Étape 3.3.6

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

Étape 3.3.7

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + e^{- x}$

Étape 3.3.8

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + 1 e^{- x}$

Étape 3.3.9

Multipliez $e^{- x}$ par $1$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + e^{- x}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{4 x} + e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 5.1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 5.1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 5.1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 5.1.2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 5.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 5.1.2.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 5.1.2.5

Déplacez $4$ à gauche de $e^{4 x}$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Étape 5.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 5.1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- x$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 5.1.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$4 e^{4 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 5.1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- x$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 5.1.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Étape 5.1.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Étape 5.1.3.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Étape 5.1.3.6

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 e^{4 x} - e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - e^{- x}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$

Étape 6.2

Déplacez $- e^{- x}$ du côté droit de l’équation en l’ajoutant des deux côtés.

$4 e^{4 x} = e^{- x}$

Étape 6.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (4 e^{4 x}) = \ln (e^{- x})$

Étape 6.4

Développez le côté gauche.

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Étape 6.4.1

Réécrivez $\ln (4 e^{4 x})$ comme $\ln (4) + \ln (e^{4 x})$ .

$\ln (4) + \ln (e^{4 x}) = \ln (e^{- x})$

Étape 6.4.2

Développez $\ln (e^{4 x})$ en déplaçant $4 x$ hors du logarithme.

$\ln (4) + 4 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

Étape 6.4.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\ln (4) + 4 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

Étape 6.4.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$\ln (4) + 4 x = \ln (e^{- x})$

Étape 6.5

Développez le côté droit.

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Étape 6.5.1

Développez $\ln (e^{- x})$ en déplaçant $- x$ hors du logarithme.

$\ln (4) + 4 x = - x \ln (e)$

Étape 6.5.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\ln (4) + 4 x = - x \cdot 1$

Étape 6.5.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\ln (4) + 4 x = - x$

Étape 6.6

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 6.6.1

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$\ln (4) + 4 x + x = 0$

Étape 6.6.2

Additionnez $4 x$ et $x$ .

$\ln (4) + 5 x = 0$

Étape 6.7

Soustrayez $\ln (4)$ des deux côtés de l’équation.

$5 x = - \ln (4)$

Étape 6.8

Divisez chaque terme dans $5 x = - \ln (4)$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 6.8.1

Divisez chaque terme dans $5 x = - \ln (4)$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \ln (4)}{5}$

Étape 6.8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.8.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 6.8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \ln (4)}{5}$

Étape 6.8.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \ln (4)}{5}$

Étape 6.8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.8.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{\ln (4)}{5}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$16 e^{4 (- \frac{\ln (4)}{5})} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Étape 10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1

Réécrivez $\frac{\ln (4)}{5}$ comme $\frac{1}{5} \ln (4)$ .

$16 e^{4 (- (\frac{1}{5} \ln (4)))} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Étape 10.2

Simplifiez $\frac{1}{5} \ln (4)$ en déplaçant $\frac{1}{5}$ dans le logarithme.

$16 e^{4 (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Étape 10.3

Multipliez $4 (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))$ .

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Étape 10.3.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$16 e^{- 4 \ln (4^{\frac{1}{5}})} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Étape 10.3.2

Simplifiez $- 4 \ln (4^{\frac{1}{5}})$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$16 e^{- \ln ({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Étape 10.4

Simplifiez $- \ln ({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$16 e^{\ln ({({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1})} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Étape 10.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$16 {({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Étape 10.6

Multipliez les exposants dans ${({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1}$ .

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Étape 10.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(4^{\frac{1}{5}})}^{4 \cdot - 1} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Étape 10.6.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$16 {(4^{\frac{1}{5}})}^{- 4} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Étape 10.7

Multipliez les exposants dans ${(4^{\frac{1}{5}})}^{- 4}$ .

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Étape 10.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 \cdot 4^{\frac{1}{5} \cdot - 4} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Étape 10.7.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $- 4$ .

$16 \cdot 4^{\frac{- 4}{5}} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Étape 10.7.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$16 \cdot 4^{- \frac{4}{5}} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Étape 10.8

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 \cdot \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Étape 10.9

Associez $16$ et $\frac{1}{4^{\frac{4}{5}}}$ .

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Étape 10.10

Réécrivez $\frac{\ln (4)}{5}$ comme $\frac{1}{5} \ln (4)$ .

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{- - (\frac{1}{5} \ln (4))}$

Étape 10.11

Simplifiez $\frac{1}{5} \ln (4)$ en déplaçant $\frac{1}{5}$ dans le logarithme.

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{- - \ln (4^{\frac{1}{5}})}$

Étape 10.12

Multipliez $- - \ln (4^{\frac{1}{5}})$ .

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Étape 10.12.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{1 \ln (4^{\frac{1}{5}})}$

Étape 10.12.2

Multipliez $\ln (4^{\frac{1}{5}})$ par $1$ .

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{\ln (4^{\frac{1}{5}})}$

Étape 10.13

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + 4^{\frac{1}{5}}$

Étape 11

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{\ln (4)}{5}$ .

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Étape 12.1

Simplify $- \frac{\ln (4)}{5}$ to substitute in $f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$ .

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Étape 12.1.1

Réécrivez $\frac{\ln (4)}{5}$ comme $\frac{1}{5} \ln (4)$ .

$y = - (\frac{1}{5} \cdot \ln (4))$

Étape 12.1.2

Simplifiez $\frac{1}{5} \ln (4)$ en déplaçant $\frac{1}{5}$ dans le logarithme.

$y = - \ln (4^{\frac{1}{5}})$

Étape 12.2

Remplacez la variable $x$ par $- \ln (4^{\frac{1}{5}})$ dans l’expression.

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = e^{4 (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

Étape 12.3

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.3.1.1

Multipliez $4 (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))$ .

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Étape 12.3.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = e^{- 4 \ln (4^{\frac{1}{5}})} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

Étape 12.3.1.1.2

Simplifiez $- 4 \ln (4^{\frac{1}{5}})$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = e^{- \ln ({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

Étape 12.3.1.2

Simplifiez $- \ln ({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = e^{\ln ({({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1})} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

Étape 12.3.1.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = {({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

Étape 12.3.1.4

Multipliez les exposants dans ${({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1}$ .

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Étape 12.3.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = {(4^{\frac{1}{5}})}^{4 \cdot - 1} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

Étape 12.3.1.4.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = {(4^{\frac{1}{5}})}^{- 4} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

Étape 12.3.1.5

Multipliez les exposants dans ${(4^{\frac{1}{5}})}^{- 4}$ .

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Étape 12.3.1.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = 4^{\frac{1}{5} \cdot - 4} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

Étape 12.3.1.5.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $- 4$ .

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = 4^{\frac{- 4}{5}} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

Étape 12.3.1.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = 4^{- \frac{4}{5}} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

Étape 12.3.1.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

Étape 12.3.1.7

Multipliez $- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))$ .

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Étape 12.3.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{1 \ln (4^{\frac{1}{5}})}$

Étape 12.3.1.7.2

Multipliez $\ln (4^{\frac{1}{5}})$ par $1$ .

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{\ln (4^{\frac{1}{5}})}$

Étape 12.3.1.8

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + 4^{\frac{1}{5}}$

Étape 12.3.2

La réponse finale est $\frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + 4^{\frac{1}{5}}$ .

$y = \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + 4^{\frac{1}{5}}$

Étape 13

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$ .

$(- \frac{\ln (4)}{5}, \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + 4^{\frac{1}{5}})$ est un minimum local

Étape 14