Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\sec (x) \tan (x)}{9 + 4 \sec^{2} (x)} d x$

Étape 1

Laissez $u = \sec (x)$ . Alors $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , donc $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \sec (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{9 + 4 u^{2}} d u$

Étape 2

Factorisez $4$ à partir de $9 + 4 u^{2}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $4$ à partir de $9$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 u^{2}} d u$

Étape 2.2

Factorisez $4$ à partir de $4 u^{2}$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 (u^{2})} d u$

Étape 2.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (\frac{9}{4}) + 4 (u^{2})$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{9}{4} + u^{2})} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\frac{9}{4} + u^{2}} d u$

Étape 4

Réécrivez $\frac{9}{4}$ comme ${(\frac{3}{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + u^{2}} d u$

Étape 5

L’intégrale de $\frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + u^{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C)$

Étape 6

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Étape 6.1

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Étape 6.1.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{4} (1 (\frac{2}{3}) \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C)$

Étape 6.1.2

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C)$

Étape 6.1.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (u \frac{2}{3}) + C)$

Étape 6.1.4

Associez $u$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (\frac{u \cdot 2}{3}) + C)$

Étape 6.1.5

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (\frac{2 \cdot u}{3}) + C)$

Étape 6.1.6

Associez $\frac{2}{3}$ et $\arctan (\frac{2 u}{3})$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \arctan (\frac{2 u}{3})}{3} + C)$

Étape 6.2

Réécrivez $\frac{1}{4} (\frac{2 \arctan (\frac{2 u}{3})}{3} + C)$ comme $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Étape 6.3

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Étape 6.3.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{4 \cdot 3} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Étape 6.3.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{2}{12} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Étape 6.3.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $12$ .

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Étape 6.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{12} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Étape 6.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Étape 6.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Étape 6.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{6} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sec (x)$ .

$\frac{1}{6} \arctan (\frac{2}{3} \sec (x)) + C$