Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - 9 x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{4})$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{4})$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{4})$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{4})$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x^{4}$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 9 (4 x^{3})$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $4$ par $- 9$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 36 x^{3}$

Étape 1.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 36 x^{3} + 12 x^{2}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 36 x^{3} + 12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 36 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 36 x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2})$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 36 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $- 36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 36 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 36 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 36 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (12 x^{2})$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = - 36 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2})$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $3$ par $- 36$ .

$f'' (x) = - 108 x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x^{2})$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 108 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 108 x^{2} + 12 (2 x)$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $2$ par $12$ .

$f'' (x) = - 108 x^{2} + 24 x$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 108 x^{2} + 24 x$ .

$- 108 x^{2} + 24 x$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 108 x^{2} + 24 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- 108 x^{2} + 24 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez $- 12 x$ à partir de $- 108 x^{2} + 24 x$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $- 12 x$ à partir de $- 108 x^{2}$ .

$- 12 x (9 x) + 24 x = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $- 12 x$ à partir de $24 x$ .

$- 12 x (9 x) - 12 x \cdot - 2 = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $- 12 x$ à partir de $- 12 x (9 x) - 12 x (- 2)$ .

$- 12 x (9 x - 2) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$9 x - 2 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $9 x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $9 x - 2$ égal à $0$ .

$9 x - 2 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $9 x - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$9 x = 2$

Étape 2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $9 x = 2$ par $9$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $9 x = 2$ par $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{2}{9}$

Étape 2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 x}{9} = \frac{2}{9}$

Étape 2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2}{9}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 12 x (9 x - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{2}{9}$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $0$ dans $f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 4 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{4}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 4 \cdot 0 - 9 {(0)}^{4}$

Étape 3.1.2.1.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$f (0) = 0 - 9 {(0)}^{4}$

Étape 3.1.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 9 \cdot 0$

Étape 3.1.2.1.4

Multipliez $- 9$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Étape 3.1.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0$

Étape 3.1.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $0$ dans $f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$ est $(0, 0)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(0, 0)$

Étape 3.3

Remplacez $\frac{2}{9}$ dans $f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{2}{9}$ dans l’expression.

$f (\frac{2}{9}) = 4 {(\frac{2}{9})}^{3} - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{9}$ .

$f (\frac{2}{9}) = 4 (\frac{2^{3}}{9^{3}}) - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

Étape 3.3.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{2}{9}) = 4 (\frac{8}{9^{3}}) - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

Étape 3.3.2.1.3

Élevez $9$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{2}{9}) = 4 (\frac{8}{729}) - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

Étape 3.3.2.1.4

Multipliez $4 (\frac{8}{729})$ .

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Étape 3.3.2.1.4.1

Associez $4$ et $\frac{8}{729}$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{4 \cdot 8}{729} - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

Étape 3.3.2.1.4.2

Multipliez $4$ par $8$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

Étape 3.3.2.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{9}$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 9 \frac{2^{4}}{9^{4}}$

Étape 3.3.2.1.6

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 9 \frac{16}{9^{4}}$

Étape 3.3.2.1.7

Élevez $9$ à la puissance $4$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 9 (\frac{16}{6561})$

Étape 3.3.2.1.8

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 3.3.2.1.8.1

Factorisez $9$ à partir de $- 9$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} + 9 (- 1) (\frac{16}{6561})$

Étape 3.3.2.1.8.2

Factorisez $9$ à partir de $6561$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} + 9 \cdot (- 1 \frac{16}{9 \cdot 729})$

Étape 3.3.2.1.8.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} + 9 \cdot (- 1 \frac{16}{9 \cdot 729})$

Étape 3.3.2.1.8.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 1 (\frac{16}{729})$

Étape 3.3.2.1.9

Réécrivez $- 1 (\frac{16}{729})$ comme $- (\frac{16}{729})$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - \frac{16}{729}$

Étape 3.3.2.2

Associez les fractions.

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Étape 3.3.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32 - 16}{729}$

Étape 3.3.2.2.2

Soustrayez $16$ de $32$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{16}{729}$

Étape 3.3.2.3

La réponse finale est $\frac{16}{729}$ .

$\frac{16}{729}$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $\frac{2}{9}$ dans $f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$ est $(\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$

Étape 3.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(0, 0), (\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{2}{9}) \cup (\frac{2}{9}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.1$ dans l’expression.

$f'' (- 0.1) = - 108 {(- 0.1)}^{2} + 24 (- 0.1)$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 0.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 0.1) = - 108 \cdot 0.01 + 24 (- 0.1)$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 108$ par $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = - 1.08 + 24 (- 0.1)$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $24$ par $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 1.08 - 2.4$

Étape 5.2.2

Soustrayez $2.4$ de $- 1.08$ .

$f'' (- 0.1) = - 3.48$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 3.48$ .

$- 3.48$

Étape 5.3

Sur $- 0.1$ , la dérivée seconde est $- 3.48$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, 0)$

Diminue sur $(- \infty, 0)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \frac{2}{9})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0.\overline{1}$ dans l’expression.

$f'' (0.\overline{1}) = - 108 {(0.\overline{1})}^{2} + 24 (0.\overline{1})$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $0.\overline{1}$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.\overline{1}) = - 108 \cdot 0.01234567 + 24 (0.\overline{1})$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 108$ par $0.01234567$ .

$f'' (0.\overline{1}) = - 1.33333333 + 24 (0.\overline{1})$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $24$ par $0.\overline{1}$ .

$f'' (0.\overline{1}) = - 1.33333333 + 2.\overline{6}$

Étape 6.2.2

Additionnez $- 1.33333333$ et $2.\overline{6}$ .

$f'' (0.\overline{1}) = 1.33333333$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $1.33333333$ .

$1.33333333$

Étape 6.3

Sur $0.\overline{1}$ , la dérivée seconde est $1.33333333$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(0, \frac{2}{9})$ .

Augmente sur $(0, \frac{2}{9})$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{2}{9}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0.3\overline{2}$ dans l’expression.

$f'' (0.3\overline{2}) = - 108 {(0.3\overline{2})}^{2} + 24 (0.3\overline{2})$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $0.3\overline{2}$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.3\overline{2}) = - 108 \cdot 0.10382716 + 24 (0.3\overline{2})$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $- 108$ par $0.10382716$ .

$f'' (0.3\overline{2}) = - 11.21333333 + 24 (0.3\overline{2})$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $24$ par $0.3\overline{2}$ .

$f'' (0.3\overline{2}) = - 11.21333333 + 7.73333333$

Étape 7.2.2

Additionnez $- 11.21333333$ et $7.73333333$ .

$f'' (0.3\overline{2}) = - 3.48$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 3.48$ .

$- 3.48$

Étape 7.3

Sur $0.3\overline{2}$ , la dérivée seconde est $- 3.48$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(\frac{2}{9}, \infty)$

Diminue sur $(\frac{2}{9}, \infty)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 0), (\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$ .

$(0, 0), (\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$

Étape 9