Calcul infinitésimal Exemples

$\int e^{x} \cos (2 x) d x$

Étape 1

Remettez dans l’ordre $e^{x}$ et $\cos (2 x)$ .

$\int \cos (2 x) e^{x} d x$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \cos (2 x)$ et $d v = e^{x}$ .

$\cos (2 x) e^{x} - \int e^{x} (- 2 \sin (2 x)) d x$

Étape 3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$\cos (2 x) e^{x} - (- 2 \int e^{x} (\sin (2 x)) d x)$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\cos (2 x) e^{x} + 2 \int e^{x} (\sin (2 x)) d x$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{x}$ et $\sin (2 x)$ .

$\cos (2 x) e^{x} + 2 \int \sin (2 x) e^{x} d x$

Étape 5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \sin (2 x)$ et $d v = e^{x}$ .

$\cos (2 x) e^{x} + 2 (\sin (2 x) e^{x} - \int e^{x} (2 \cos (2 x)) d x)$

Étape 6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\cos (2 x) e^{x} + 2 (\sin (2 x) e^{x} - (2 \int e^{x} (\cos (2 x)) d x))$

Étape 7

Simplifiez en multipliant.

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Étape 7.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\cos (2 x) e^{x} + 2 (\sin (2 x) e^{x} - 2 \int e^{x} (\cos (2 x)) d x)$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (2 x) e^{x} + 2 (\sin (2 x) e^{x}) + 2 (- 2 \int e^{x} (\cos (2 x)) d x)$

Étape 7.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\cos (2 x) e^{x} + 2 (\sin (2 x) e^{x}) - 4 \int e^{x} (\cos (2 x)) d x$

Étape 8

En résolvant $\int e^{x} \cos (2 x) d x$ , nous trouvons que $\int e^{x} \cos (2 x) d x$ = $\frac{\cos (2 x) e^{x} + 2 (\sin (2 x) e^{x})}{5}$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{x} + 2 (\sin (2 x) e^{x})}{5} + C$

Étape 9

Réécrivez $\frac{\cos (2 x) e^{x} + 2 \sin (2 x) e^{x}}{5} + C$ comme $\frac{1}{5} (\cos (2 x) e^{x} + 2 \sin (2 x) e^{x}) + C$ .

$\frac{1}{5} (\cos (2 x) e^{x} + 2 \sin (2 x) e^{x}) + C$