Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{t} \cdot (\frac{2}{t^{2}} - \frac{3}{t^{3}}) d t$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{1}{t}$ par $\frac{2}{t^{2}} - \frac{3}{t^{3}}$ .

$\int \frac{\frac{2}{t^{2}} - \frac{3}{t^{3}}}{t} d t$

Étape 1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.1

Pour écrire $\frac{2}{t^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{t}{t}$ .

$\int \frac{\frac{2}{t^{2}} \cdot \frac{t}{t} - \frac{3}{t^{3}}}{t} d t$

Étape 1.2.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $t^{3}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.2.2.1

Multipliez $\frac{2}{t^{2}}$ par $\frac{t}{t}$ .

$\int \frac{\frac{2 t}{t^{2} t} - \frac{3}{t^{3}}}{t} d t$

Étape 1.2.2.2

Multipliez $t^{2}$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.2.2.1

Multipliez $t^{2}$ par $t$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{\frac{2 t}{t^{2} t^{1}} - \frac{3}{t^{3}}}{t} d t$

Étape 1.2.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{\frac{2 t}{t^{2 + 1}} - \frac{3}{t^{3}}}{t} d t$

Étape 1.2.2.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int \frac{\frac{2 t}{t^{3}} - \frac{3}{t^{3}}}{t} d t$

Étape 1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int \frac{\frac{2 t - 3}{t^{3}}}{t} d t$

Étape 1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\int \frac{2 t - 3}{t^{3}} \cdot \frac{1}{t} d t$

Étape 1.4

Multipliez $\frac{2 t - 3}{t^{3}} \cdot \frac{1}{t}$ .

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Étape 1.4.1

Multipliez $\frac{2 t - 3}{t^{3}}$ par $\frac{1}{t}$ .

$\int \frac{2 t - 3}{t^{3} t} d t$

Étape 1.4.2

Multipliez $t^{3}$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.2.1

Multipliez $t^{3}$ par $t$ .

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Étape 1.4.2.1.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{2 t - 3}{t^{3} t^{1}} d t$

Étape 1.4.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{2 t - 3}{t^{3 + 1}} d t$

Étape 1.4.2.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$\int \frac{2 t - 3}{t^{4}} d t$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1

Retirez $t^{4}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (2 t - 3) {(t^{4})}^{- 1} d t$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(t^{4})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 t - 3) t^{4 \cdot - 1} d t$

Étape 2.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\int (2 t - 3) t^{- 4} d t$

Étape 3

Multipliez $(2 t - 3) t^{- 4}$ .

$\int 2 t \cdot t^{- 4} - 3 t^{- 4} d t$

Étape 4

Multipliez $t$ par $t^{- 4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1

Déplacez $t^{- 4}$ .

$\int 2 (t^{- 4} t) - 3 t^{- 4} d t$

Étape 4.2

Multipliez $t^{- 4}$ par $t$ .

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Étape 4.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\int 2 (t^{- 4} t^{1}) - 3 t^{- 4} d t$

Étape 4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 2 t^{- 4 + 1} - 3 t^{- 4} d t$

Étape 4.3

Additionnez $- 4$ et $1$ .

$\int 2 t^{- 3} - 3 t^{- 4} d t$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 2 t^{- 3} d t + \int - 3 t^{- 4} d t$

Étape 6

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int t^{- 3} d t + \int - 3 t^{- 4} d t$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{- 3}$ par rapport à $t$ est $- \frac{1}{2} t^{- 2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} t^{- 2} + C) + \int - 3 t^{- 4} d t$

Étape 8

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Étape 8.1

Associez $t^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{t^{- 2}}{2} + C) + \int - 3 t^{- 4} d t$

Étape 8.2

Placez $t^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) + \int - 3 t^{- 4} d t$

Étape 9

Comme $- 3$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$2 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) - 3 \int t^{- 4} d t$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{- 4}$ par rapport à $t$ est $- \frac{1}{3} t^{- 3}$ .

$2 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) - 3 (- \frac{1}{3} t^{- 3} + C)$

Étape 11

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Étape 11.1

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Étape 11.1.1

Associez $t^{- 3}$ et $\frac{1}{3}$ .

$2 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) - 3 (- \frac{t^{- 3}}{3} + C)$

Étape 11.1.2

Placez $t^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) - 3 (- \frac{1}{3 t^{3}} + C)$

Étape 11.2

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$\frac{- 1}{t^{2}} - 3 (- \frac{1}{3 t^{3}}) + C$

Étape 11.3

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Étape 11.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{t^{2}} - 3 (- \frac{1}{3 t^{3}}) + C$

Étape 11.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$- \frac{1}{t^{2}} + 3 \frac{1}{3 t^{3}} + C$

Étape 11.3.3

Associez $3$ et $\frac{1}{3 t^{3}}$ .

$- \frac{1}{t^{2}} + \frac{3}{3 t^{3}} + C$

Étape 11.3.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 11.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{t^{2}} + \frac{3}{3 t^{3}} + C$

Étape 11.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{t^{2}} + \frac{1}{t^{3}} + C$