Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{y \to - 3} \sqrt{\frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Étape 1

Placez la limite sous le radical.

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\sqrt{\frac{lim_{y \to - 3} y^{2} - 9}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $y$ approche de $- 3$ .

$\sqrt{\frac{lim_{y \to - 3} y^{2} - lim_{y \to - 3} 9}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Étape 2.1.2.1.2

Déplacez l’exposant $2$ de $y^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt{\frac{{(lim_{y \to - 3} y)}^{2} - lim_{y \to - 3} 9}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Étape 2.1.2.1.3

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $y$ approche de $- 3$ .

$\sqrt{\frac{{(lim_{y \to - 3} y)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Étape 2.1.2.2

Évaluez la limite de $y$ en insérant $- 3$ pour $y$ .

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.3.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{9 - 1 \cdot 9}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Étape 2.1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\sqrt{\frac{9 - 9}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Étape 2.1.2.3.2

Soustrayez $9$ de $9$ .

$\sqrt{\frac{0}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $y$ approche de $- 3$ .

$\sqrt{\frac{0}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + lim_{y \to - 3} 7 y + lim_{y \to - 3} 3}}$

Étape 2.1.3.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $y$ .

$\sqrt{\frac{0}{2 lim_{y \to - 3} y^{2} + lim_{y \to - 3} 7 y + lim_{y \to - 3} 3}}$

Étape 2.1.3.3

Déplacez l’exposant $2$ de $y^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt{\frac{0}{2 {(lim_{y \to - 3} y)}^{2} + lim_{y \to - 3} 7 y + lim_{y \to - 3} 3}}$

Étape 2.1.3.4

Placez le terme $7$ hors de la limite car il constant par rapport à $y$ .

$\sqrt{\frac{0}{2 {(lim_{y \to - 3} y)}^{2} + 7 lim_{y \to - 3} y + lim_{y \to - 3} 3}}$

Étape 2.1.3.5

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $y$ approche de $- 3$ .

$\sqrt{\frac{0}{2 {(lim_{y \to - 3} y)}^{2} + 7 lim_{y \to - 3} y + 3}}$

Étape 2.1.3.6

Évaluez les limites en insérant $- 3$ pour toutes les occurrences de $y$ .

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Étape 2.1.3.6.1

Évaluez la limite de $y$ en insérant $- 3$ pour $y$ .

$\sqrt{\frac{0}{2 {(- 3)}^{2} + 7 lim_{y \to - 3} y + 3}}$

Étape 2.1.3.6.2

Évaluez la limite de $y$ en insérant $- 3$ pour $y$ .

$\sqrt{\frac{0}{2 {(- 3)}^{2} + 7 \cdot - 3 + 3}}$

Étape 2.1.3.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.3.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.7.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{0}{2 \cdot 9 + 7 \cdot - 3 + 3}}$

Étape 2.1.3.7.1.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$\sqrt{\frac{0}{18 + 7 \cdot - 3 + 3}}$

Étape 2.1.3.7.1.3

Multipliez $7$ par $- 3$ .

$\sqrt{\frac{0}{18 - 21 + 3}}$

Étape 2.1.3.7.2

Soustrayez $21$ de $18$ .

$\sqrt{\frac{0}{- 3 + 3}}$

Étape 2.1.3.7.3

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$\sqrt{\frac{0}{0}}$

Étape 2.1.3.7.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\sqrt{\frac{0}{0}}$

Étape 2.1.3.8

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\sqrt{\frac{0}{0}}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\sqrt{\frac{0}{0}}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{y \to - 3} \frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3} = lim_{y \to - 3} \frac{\frac{d}{d y} [y^{2} - 9]}{\frac{d}{d y} [2 y^{2} + 7 y + 3]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{\frac{d}{d y} [y^{2} - 9]}{\frac{d}{d y} [2 y^{2} + 7 y + 3]}}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} - 9$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 9]$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 9]}{\frac{d}{d y} [2 y^{2} + 7 y + 3]}}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y + \frac{d}{d y} [- 9]}{\frac{d}{d y} [2 y^{2} + 7 y + 3]}}$

Étape 2.3.4

Comme $- 9$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y + 0}{\frac{d}{d y} [2 y^{2} + 7 y + 3]}}$

Étape 2.3.5

Additionnez $2 y$ et $0$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{\frac{d}{d y} [2 y^{2} + 7 y + 3]}}$

Étape 2.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 y^{2} + 7 y + 3$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [7 y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{\frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [7 y] + \frac{d}{d y} [3]}}$

Étape 2.3.7

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

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Étape 2.3.7.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y^{2}$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{2 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [7 y] + \frac{d}{d y} [3]}}$

Étape 2.3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{2 \cdot 2 y + \frac{d}{d y} [7 y] + \frac{d}{d y} [3]}}$

Étape 2.3.7.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{4 y + \frac{d}{d y} [7 y] + \frac{d}{d y} [3]}}$

Étape 2.3.8

Évaluez $\frac{d}{d y} [7 y]$ .

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Étape 2.3.8.1

Comme $7$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $7 y$ par rapport à $y$ est $7 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{4 y + 7 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]}}$

Étape 2.3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{4 y + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3]}}$

Étape 2.3.8.3

Multipliez $7$ par $1$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{4 y + 7 + \frac{d}{d y} [3]}}$

Étape 2.3.9

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{4 y + 7 + 0}}$

Étape 2.3.10

Additionnez $4 y + 7$ et $0$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{4 y + 7}}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $y$ .

$\sqrt{2 lim_{y \to - 3} \frac{y}{4 y + 7}}$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $y$ approche de $- 3$ .

$\sqrt{2 \frac{lim_{y \to - 3} y}{lim_{y \to - 3} 4 y + 7}}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $y$ approche de $- 3$ .

$\sqrt{2 \frac{lim_{y \to - 3} y}{lim_{y \to - 3} 4 y + lim_{y \to - 3} 7}}$

Étape 3.4

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $y$ .

$\sqrt{2 \frac{lim_{y \to - 3} y}{4 lim_{y \to - 3} y + lim_{y \to - 3} 7}}$

Étape 3.5

Évaluez la limite de $7$ qui est constante lorsque $y$ approche de $- 3$ .

$\sqrt{2 \frac{lim_{y \to - 3} y}{4 lim_{y \to - 3} y + 7}}$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant $- 3$ pour toutes les occurrences de $y$ .

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $y$ en insérant $- 3$ pour $y$ .

$\sqrt{2 \frac{- 3}{4 lim_{y \to - 3} y + 7}}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $y$ en insérant $- 3$ pour $y$ .

$\sqrt{2 \frac{- 3}{4 \cdot - 3 + 7}}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Associez $2$ et $\frac{- 3}{4 \cdot - 3 + 7}$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot - 3}{4 \cdot - 3 + 7}}$

Étape 5.2

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot - 3}{- 12 + 7}}$

Étape 5.3

Additionnez $- 12$ et $7$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot - 3}{- 5}}$

Étape 5.4

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\sqrt{\frac{- 6}{- 5}}$

Étape 5.5

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\sqrt{\frac{6}{5}}$

Étape 5.6

Réécrivez $\sqrt{\frac{6}{5}}$ comme $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$

Étape 5.7

Multipliez $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Étape 5.8

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.8.1

Multipliez $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 5.8.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Étape 5.8.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Étape 5.8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 5.8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 5.8.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 5.8.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.8.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.8.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.8.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.8.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.8.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Étape 5.8.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{5}$

Étape 5.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.9.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 5}}{5}$

Étape 5.9.2

Multipliez $6$ par $5$ .

$\frac{\sqrt{30}}{5}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{30}}{5}$

Forme décimale :

$1.09544511 \dots$