Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{8} \sqrt{8 x} d x$

Étape 1

Réécrivez $\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} \sqrt{8 x} d x]$ comme $\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2 \sqrt{2 x} d x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Réécrivez $8 x$ comme $2^{2} \cdot (2 x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} \sqrt{4 (2) x} d x]$

Étape 1.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} \sqrt{2^{2} \cdot 2 x} d x]$

Étape 1.1.3

Ajoutez des parenthèses.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} \sqrt{2^{2} \cdot (2 x)} d x]$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2 \sqrt{2 x} d x]$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x}$ comme ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}} d x]$

Étape 3

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2 {(2 (x))}^{\frac{1}{2}} d x]$

Étape 4

Appliquez la règle de produit à $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2 (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) d x]$

Étape 5

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x^{\frac{1}{2}} d x]$

Étape 6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2^{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}} d x]$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}} d x]$

Étape 7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2^{\frac{1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}} d x]$

Étape 7.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} d x]$

Étape 8

Une fois que $\int_{0}^{8} 2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} d x$ a été évalué, il sera constant par rapport à $x$ , si bien que la dérivée de $\int_{0}^{8} 2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} d x$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$