Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{9}^{16} \sqrt{x} - 4 d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{9}^{16} \sqrt{x} d x + \int_{9}^{16} - 4 d x$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{9}^{16} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{9}^{16} - 4 d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{9}^{16} + \int_{9}^{16} - 4 d x$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{9}^{16} + - 4 x]_{9}^{16}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Associez $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{9}^{16}$ et $- 4 x]_{9}^{16}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 4 x]_{9}^{16}$

Étape 5.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Évaluez $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 4 x$ sur $16$ et sur $9$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 16) - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Étape 5.2.2

Simplifiez

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Étape 5.2.2.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 16 - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Étape 5.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - 4 \cdot 16 - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Étape 5.2.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - 4 \cdot 16 - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Étape 5.2.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - 4 \cdot 16 - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Étape 5.2.2.4

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 64 - 4 \cdot 16 - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Étape 5.2.2.5

Associez $\frac{2}{3}$ et $64$ .

$\frac{2 \cdot 64}{3} - 4 \cdot 16 - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Étape 5.2.2.6

Multipliez $2$ par $64$ .

$\frac{128}{3} - 4 \cdot 16 - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Étape 5.2.2.7

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$\frac{128}{3} - 64 - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Étape 5.2.2.8

Pour écrire $- 64$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{128}{3} - 64 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Étape 5.2.2.9

Associez $- 64$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{128}{3} + \frac{- 64 \cdot 3}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Étape 5.2.2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{128 - 64 \cdot 3}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Étape 5.2.2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.2.11.1

Multipliez $- 64$ par $3$ .

$\frac{128 - 192}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Étape 5.2.2.11.2

Soustrayez $192$ de $128$ .

$\frac{- 64}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Étape 5.2.2.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{64}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Étape 5.2.2.13

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$- \frac{64}{3} - (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Étape 5.2.2.14

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{64}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - 4 \cdot 9)$

Étape 5.2.2.15

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.15.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{64}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - 4 \cdot 9)$

Étape 5.2.2.15.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{64}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 9)$

Étape 5.2.2.16

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$- \frac{64}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 27 - 4 \cdot 9)$

Étape 5.2.2.17

Associez $\frac{2}{3}$ et $27$ .

$- \frac{64}{3} - (\frac{2 \cdot 27}{3} - 4 \cdot 9)$

Étape 5.2.2.18

Multipliez $2$ par $27$ .

$- \frac{64}{3} - (\frac{54}{3} - 4 \cdot 9)$

Étape 5.2.2.19

Annulez le facteur commun à $54$ et $3$ .

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Étape 5.2.2.19.1

Factorisez $3$ à partir de $54$ .

$- \frac{64}{3} - (\frac{3 \cdot 18}{3} - 4 \cdot 9)$

Étape 5.2.2.19.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.19.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- \frac{64}{3} - (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - 4 \cdot 9)$

Étape 5.2.2.19.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{64}{3} - (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - 4 \cdot 9)$

Étape 5.2.2.19.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{64}{3} - (\frac{18}{1} - 4 \cdot 9)$

Étape 5.2.2.19.2.4

Divisez $18$ par $1$ .

$- \frac{64}{3} - (18 - 4 \cdot 9)$

Étape 5.2.2.20

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$- \frac{64}{3} - (18 - 36)$

Étape 5.2.2.21

Soustrayez $36$ de $18$ .

$- \frac{64}{3} - - 18$

Étape 5.2.2.22

Multipliez $- 1$ par $- 18$ .

$- \frac{64}{3} + 18$

Étape 5.2.2.23

Pour écrire $18$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{64}{3} + 18 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 5.2.2.24

Associez $18$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{64}{3} + \frac{18 \cdot 3}{3}$

Étape 5.2.2.25

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 64 + 18 \cdot 3}{3}$

Étape 5.2.2.26

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.2.26.1

Multipliez $18$ par $3$ .

$\frac{- 64 + 54}{3}$

Étape 5.2.2.26.2

Additionnez $- 64$ et $54$ .

$\frac{- 10}{3}$

Étape 5.2.2.27

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{10}{3}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{10}{3}$

Forme décimale :

$- 3.\overline{3}$

Forme de nombre mixte :

$- 3 \frac{1}{3}$

Étape 7