Calcul infinitésimal Exemples

$\int 6 t^{2} \sqrt[3]{t} d t$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{t}$ comme $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\int 6 t^{2} t^{\frac{1}{3}} d t$

Étape 1.2

Multipliez $t^{2}$ par $t^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1

Déplacez $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\int 6 (t^{\frac{1}{3}} t^{2}) d t$

Étape 1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 6 t^{\frac{1}{3} + 2} d t$

Étape 1.2.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\int 6 t^{\frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}} d t$

Étape 1.2.4

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$\int 6 t^{\frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}} d t$

Étape 1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int 6 t^{\frac{1 + 2 \cdot 3}{3}} d t$

Étape 1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\int 6 t^{\frac{1 + 6}{3}} d t$

Étape 1.2.6.2

Additionnez $1$ et $6$ .

$\int 6 t^{\frac{7}{3}} d t$

Étape 2

Comme $6$ est constant par rapport à $t$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int t^{\frac{7}{3}} d t$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{\frac{7}{3}}$ par rapport à $t$ est $\frac{3}{10} t^{\frac{10}{3}}$ .

$6 (\frac{3}{10} t^{\frac{10}{3}} + C)$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Réécrivez $6 (\frac{3}{10} t^{\frac{10}{3}} + C)$ comme $6 (\frac{3}{10}) t^{\frac{10}{3}} + C$ .

$6 (\frac{3}{10}) t^{\frac{10}{3}} + C$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Associez $6$ et $\frac{3}{10}$ .

$\frac{6 \cdot 3}{10} t^{\frac{10}{3}} + C$

Étape 4.2.2

Multipliez $6$ par $3$ .

$\frac{18}{10} t^{\frac{10}{3}} + C$

Étape 4.2.3

Annulez le facteur commun à $18$ et $10$ .

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Étape 4.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$\frac{2 (9)}{10} t^{\frac{10}{3}} + C$

Étape 4.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 5} t^{\frac{10}{3}} + C$

Étape 4.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 5} t^{\frac{10}{3}} + C$

Étape 4.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{5} t^{\frac{10}{3}} + C$