Calcul infinitésimal Exemples

$\int 6 e^{6 x} \sin (e^{6 x}) d x$

Étape 1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int e^{6 x} \sin (e^{6 x}) d x$

Étape 2

Laissez $u_{1} = 6 x$ . Alors $d u_{1} = 6 d x$ , donc $\frac{1}{6} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{1} = 6 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 2.1.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Étape 2.1.4

Multipliez $6$ par $1$ .

$6$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$6 \int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) \frac{1}{6} d u_{1}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{6}$ et $e^{u_{1}}$ .

$6 \int \frac{e^{u_{1}}}{6} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Étape 3.2

Associez $\frac{e^{u_{1}}}{6}$ et $\sin (e^{u_{1}})$ .

$6 \int \frac{e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}})}{6} d u_{1}$

Étape 4

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$6 (\frac{1}{6} \int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{6}$ et $6$ .

$\frac{6}{6} \int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6}{6} \int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Étape 5.3

Multipliez $\int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1}$ par $1$ .

$\int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Étape 6

Laissez $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Alors $d u_{2} = e^{u_{1}} d u_{1}$ , donc $\frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 6.1

Laissez $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $e^{u_{1}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

Étape 6.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}}$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Étape 7

L’intégrale de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \cos (u_{2})$ .

$- \cos (u_{2}) + C$

Étape 8

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 8.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $e^{u_{1}}$ .

$- \cos (e^{u_{1}}) + C$

Étape 8.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $6 x$ .

$- \cos (e^{6 x}) + C$