Calcul infinitésimal Exemples

$\int x \arctan ({(x)}^{2}) d x$

Étape 1

Laissez $u_{1} = x^{2}$ . Alors $d u_{1} = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{1} = x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \arctan (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2

Associez $\arctan (u_{1})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\arctan (u_{1})}{2} d u_{1}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \arctan (u_{1}) d u_{1}$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int w d v = w v - \int v d w$ , où $w = \arctan (u_{1})$ et $dv = 1$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - \int u_{1} \frac{1}{{u_{1}}^{2} + 1} d u_{1})$

Étape 5

Associez $u_{1}$ et $\frac{1}{{u_{1}}^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - \int \frac{u_{1}}{{u_{1}}^{2} + 1} d u_{1})$

Étape 6

Laissez $u_{2} = {u_{1}}^{2} + 1$ . Alors $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 6.1

Laissez $u_{2} = {u_{1}}^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez ${u_{1}}^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2} + 1]$

Étape 6.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${u_{1}}^{2} + 1$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{1} + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Étape 6.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $1$ par rapport à $u_{1}$ est $0$ .

$2 u_{1} + 0$

Étape 6.1.5

Additionnez $2 u_{1}$ et $0$ .

$2 u_{1}$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2})$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{1}{u_{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2})$

Étape 7.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2})$

Étape 8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}))$

Étape 9

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C))$

Étape 10

Simplifiez

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C$

Étape 11

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 11.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (x^{2}) x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C$

Étape 11.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par ${u_{1}}^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (x^{2}) x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| {u_{1}}^{2} + 1 |)) + C$

Étape 11.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (x^{2}) x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| {(x^{2})}^{2} + 1 |)) + C$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 12.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (x^{2}) x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| x^{2 \cdot 2} + 1 |)) + C$

Étape 12.1.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (x^{2}) x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| x^{4} + 1 |)) + C$

Étape 12.1.2

Associez $\ln (| x^{4} + 1 |)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (x^{2}) x^{2} - \frac{\ln (| x^{4} + 1 |)}{2}) + C$

Étape 12.2

Pour écrire $\arctan (x^{2}) x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| x^{4} + 1 |)}{2}) + C$

Étape 12.3

Associez $\arctan (x^{2}) x^{2}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| x^{4} + 1 |)}{2}) + C$

Étape 12.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot 2 - \ln (| x^{4} + 1 |)}{2} + C$

Étape 12.5

Déplacez $2$ à gauche de $\arctan (x^{2}) x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (| x^{4} + 1 |)}{2} + C$

Étape 12.6

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (| x^{4} + 1 |)}{2}$ .

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Étape 12.6.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (| x^{4} + 1 |)}{2}$ .

$\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (| x^{4} + 1 |)}{2 \cdot 2} + C$

Étape 12.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (| x^{4} + 1 |)}{4} + C$

Étape 12.7

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (| x^{4} + 1 |)}{4}$ .

$\frac{2 x^{2} \arctan (x^{2}) - \ln (| x^{4} + 1 |)}{4} + C$

Étape 13

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{4} (2 x^{2} \arctan (x^{2}) - \ln (| x^{4} + 1 |)) + C$