Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(2 x + 1)}^{2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{2})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Réécrivez ${(2 x + 1)}^{2}$ comme $(2 x + 1) (2 x + 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x + 1)]$

Étape 3.2

Développez $(2 x + 1) (2 x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)]$

Étape 3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1)]$

Étape 3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1]$

Étape 3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1]$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1]$

Étape 3.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1]$

Étape 3.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1]$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1]$

Étape 3.3.1.5

Multipliez $2 x$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1]$

Étape 3.3.1.6

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1]$

Étape 3.3.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4 x + 1]$

Étape 3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} + 4 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.7

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.8

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.10

Multipliez $4$ par $1$ .

$8 x + 4 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.11

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$8 x + 4 + 0$

Étape 3.12

Additionnez $8 x + 4$ et $0$ .

$8 x + 4$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 8 x + 4$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x + 4$