Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{5} \frac{5}{x^{3}} d x$

Étape 1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int_{1}^{5} \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$5 \int_{1}^{5} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int_{1}^{5} x^{3 \cdot - 1} d x$

Étape 2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$5 \int_{1}^{5} x^{- 3} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$5 (- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{5})$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez

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Étape 4.1.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$5 (- \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{5})$

Étape 4.1.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{5})$

Étape 4.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Évaluez $- \frac{1}{2 x^{2}}$ sur $5$ et sur $1$ .

$5 ((- \frac{1}{2 \cdot 5^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$5 (- \frac{1}{2 \cdot 25} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $2$ par $25$ .

$5 (- \frac{1}{50} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 4.2.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$5 (- \frac{1}{50} + \frac{1}{2 \cdot 1})$

Étape 4.2.2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$5 (- \frac{1}{50} + \frac{1}{2})$

Étape 4.2.2.5

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{25}{25}$ .

$5 (- \frac{1}{50} + \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{25})$

Étape 4.2.2.6

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $50$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.2.2.6.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{25}{25}$ .

$5 (- \frac{1}{50} + \frac{25}{2 \cdot 25})$

Étape 4.2.2.6.2

Multipliez $2$ par $25$ .

$5 (- \frac{1}{50} + \frac{25}{50})$

Étape 4.2.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 \frac{- 1 + 25}{50}$

Étape 4.2.2.8

Additionnez $- 1$ et $25$ .

$5 (\frac{24}{50})$

Étape 4.2.2.9

Annulez le facteur commun à $24$ et $50$ .

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Étape 4.2.2.9.1

Factorisez $2$ à partir de $24$ .

$5 \frac{2 (12)}{50}$

Étape 4.2.2.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $50$ .

$5 \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 25}$

Étape 4.2.2.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$5 \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 25}$

Étape 4.2.2.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$5 (\frac{12}{25})$

Étape 4.2.2.10

Associez $5$ et $\frac{12}{25}$ .

$\frac{5 \cdot 12}{25}$

Étape 4.2.2.11

Multipliez $5$ par $12$ .

$\frac{60}{25}$

Étape 4.2.2.12

Annulez le facteur commun à $60$ et $25$ .

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Étape 4.2.2.12.1

Factorisez $5$ à partir de $60$ .

$\frac{5 (12)}{25}$

Étape 4.2.2.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.12.2.1

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$\frac{5 \cdot 12}{5 \cdot 5}$

Étape 4.2.2.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cdot 12}{5 \cdot 5}$

Étape 4.2.2.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{12}{5}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{12}{5}$

Forme décimale :

$2.4$

Forme de nombre mixte :

$2 \frac{2}{5}$

Étape 6