Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{500} 13^{x} - 11^{x} d x + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Étape 1

Évaluez $\int_{1}^{500} 13^{x} - 11^{x} d x$ .

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Étape 1.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{500} 13^{x} d x + \int_{1}^{500} - 11^{x} d x + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Étape 1.2

L’intégrale de $13^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{13^{x}}{\ln (13)}$ .

$\frac{13^{x}}{\ln (13)}]_{1}^{500} + \int_{1}^{500} - 11^{x} d x + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Étape 1.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{13^{x}}{\ln (13)}]_{1}^{500} - \int_{1}^{500} 11^{x} d x + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Étape 1.4

L’intégrale de $11^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{11^{x}}{\ln (11)}$ .

$\frac{13^{x}}{\ln (13)}]_{1}^{500} - (\frac{11^{x}}{\ln (11)}]_{1}^{500}) + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Étape 1.5

Remplacez et simplifiez.

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Étape 1.5.1

Évaluez $\frac{13^{x}}{\ln (13)}$ sur $500$ et sur $1$ .

$(\frac{13^{500}}{\ln (13)}) - \frac{13^{1}}{\ln (13)} - (\frac{11^{x}}{\ln (11)}]_{1}^{500}) + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Étape 1.5.2

Évaluez $\frac{11^{x}}{\ln (11)}$ sur $500$ et sur $1$ .

$\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{13^{1}}{\ln (13)} - (\frac{11^{500}}{\ln (11)} - \frac{11^{1}}{\ln (11)}) + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Étape 1.5.3

Simplifiez

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Étape 1.5.3.1

Évaluez l’exposant.

$\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{13}{\ln (13)} - (\frac{11^{500}}{\ln (11)} - \frac{11^{1}}{\ln (11)}) + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Étape 1.5.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{13^{500} - 13}{\ln (13)} - (\frac{11^{500}}{\ln (11)} - \frac{11^{1}}{\ln (11)}) + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Étape 1.5.3.3

Évaluez l’exposant.

$\frac{13^{500} - 13}{\ln (13)} - (\frac{11^{500}}{\ln (11)} - \frac{11}{\ln (11)}) + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Étape 1.5.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{13^{500} - 13}{\ln (13)} - \frac{11^{500} - 11}{\ln (11)} + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Étape 1.5.3.5

Pour écrire $\frac{13^{500} - 13}{\ln (13)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\ln (11)}{\ln (11)}$ .

$\frac{13^{500} - 13}{\ln (13)} \cdot \frac{\ln (11)}{\ln (11)} - \frac{11^{500} - 11}{\ln (11)} + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Étape 1.5.3.6

Pour écrire $- \frac{11^{500} - 11}{\ln (11)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\ln (13)}{\ln (13)}$ .

$\frac{13^{500} - 13}{\ln (13)} \cdot \frac{\ln (11)}{\ln (11)} - \frac{11^{500} - 11}{\ln (11)} \cdot \frac{\ln (13)}{\ln (13)} + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Étape 1.5.3.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\ln (13) \ln (11)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.5.3.7.1

Multipliez $\frac{13^{500} - 13}{\ln (13)}$ par $\frac{\ln (11)}{\ln (11)}$ .

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11)}{\ln (13) \ln (11)} - \frac{11^{500} - 11}{\ln (11)} \cdot \frac{\ln (13)}{\ln (13)} + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Étape 1.5.3.7.2

Multipliez $\frac{11^{500} - 11}{\ln (11)}$ par $\frac{\ln (13)}{\ln (13)}$ .

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11)}{\ln (13) \ln (11)} - \frac{(11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Étape 1.5.3.7.3

Réorganisez les facteurs de $\ln (13) \ln (11)$ .

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11)}{\ln (11) \ln (13)} - \frac{(11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Étape 1.5.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Étape 2

Évaluez $\int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$ .

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Étape 2.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \int_{2}^{500} 11^{x} d x + \int_{2}^{500} - 13^{x} d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $11^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{11^{x}}{\ln (11)}$ .

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{x}}{\ln (11)}]_{2}^{500} + \int_{2}^{500} - 13^{x} d x$

Étape 2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{x}}{\ln (11)}]_{2}^{500} - \int_{2}^{500} 13^{x} d x$

Étape 2.4

L’intégrale de $13^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{13^{x}}{\ln (13)}$ .

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{x}}{\ln (11)}]_{2}^{500} - (\frac{13^{x}}{\ln (13)}]_{2}^{500})$

Étape 2.5

Remplacez et simplifiez.

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Étape 2.5.1

Évaluez $\frac{11^{x}}{\ln (11)}$ sur $500$ et sur $2$ .

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + (\frac{11^{500}}{\ln (11)}) - \frac{11^{2}}{\ln (11)} - (\frac{13^{x}}{\ln (13)}]_{2}^{500})$

Étape 2.5.2

Évaluez $\frac{13^{x}}{\ln (13)}$ sur $500$ et sur $2$ .

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{500}}{\ln (11)} - \frac{11^{2}}{\ln (11)} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{13^{2}}{\ln (13)})$

Étape 2.5.3

Simplifiez

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Étape 2.5.3.1

Élevez $11$ à la puissance $2$ .

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{500}}{\ln (11)} - \frac{121}{\ln (11)} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{13^{2}}{\ln (13)})$

Étape 2.5.3.2

Élevez $13$ à la puissance $2$ .

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{500}}{\ln (11)} - \frac{121}{\ln (11)} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)})$

Étape 2.5.3.3

Pour écrire $- (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\ln (11)}{\ln (11)}$ .

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{500}}{\ln (11)} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \cdot \frac{\ln (11)}{\ln (11)} - \frac{121}{\ln (11)}$

Étape 2.5.3.4

Associez $- (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)})$ et $\frac{\ln (11)}{\ln (11)}$ .

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{500}}{\ln (11)} + \frac{- (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \ln (11)}{\ln (11)} - \frac{121}{\ln (11)}$

Étape 2.5.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{500} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \ln (11)}{\ln (11)} - \frac{121}{\ln (11)}$

Étape 2.5.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{500} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \ln (11) - 121}{\ln (11)}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Pour écrire $\frac{11^{500} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \ln (11) - 121}{\ln (11)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\ln (13)}{\ln (13)}$ .

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{500} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \ln (11) - 121}{\ln (11)} \cdot \frac{\ln (13)}{\ln (13)}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{11^{500} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \ln (11) - 121}{\ln (11)}$ par $\frac{\ln (13)}{\ln (13)}$ .

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{(11^{500} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \ln (11) - 121) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)}$

Étape 3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13) + (11^{500} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \ln (11) - 121) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)}$