Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{5} x \sqrt{2 x^{2} - 1} d x$

Étape 1

Laissez $u = 2 x^{2} - 1$ . Alors $d u = 4 x d x$ , donc $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 2 x^{2} - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $2 x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $4 x$ et $0$ .

$4 x$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 2 x^{2} - 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 1^{2} - 1$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{lower} = 2 \cdot 1 - 1$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u_{lower} = 2 - 1$

Étape 1.3.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 2 x^{2} - 1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 5^{2} - 1$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 25 - 1$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $2$ par $25$ .

$u_{upper} = 50 - 1$

Étape 1.5.2

Soustrayez $1$ de $50$ .

$u_{upper} = 49$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 49$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{49} \sqrt{u} \frac{1}{4} d u$

Étape 2

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{49} \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{49} \sqrt{u} d u$

Étape 4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{49} u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{49}$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ sur $49$ et sur $1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 49^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(7^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 7^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.4

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 343 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.5

Associez $\frac{2}{3}$ et $343$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 343}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.6

Multipliez $2$ par $343$ .

$\frac{1}{4} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{4} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Étape 6.2.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3})$

Étape 6.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{686 - 2}{3}$

Étape 6.2.10

Soustrayez $2$ de $686$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{684}{3}$

Étape 6.2.11

Annulez le facteur commun à $684$ et $3$ .

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Étape 6.2.11.1

Factorisez $3$ à partir de $684$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 228}{3}$

Étape 6.2.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.11.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 228}{3 (1)}$

Étape 6.2.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 228}{3 \cdot 1}$

Étape 6.2.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{228}{1}$

Étape 6.2.11.2.4

Divisez $228$ par $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 228$

Étape 6.2.12

Associez $\frac{1}{4}$ et $228$ .

$\frac{228}{4}$

Étape 6.2.13

Annulez le facteur commun à $228$ et $4$ .

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Étape 6.2.13.1

Factorisez $4$ à partir de $228$ .

$\frac{4 \cdot 57}{4}$

Étape 6.2.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.13.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 \cdot 57}{4 (1)}$

Étape 6.2.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 57}{4 \cdot 1}$

Étape 6.2.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{57}{1}$

Étape 6.2.13.2.4

Divisez $57$ par $1$ .

$57$

Étape 7