Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{e} x^{2} - \frac{1}{x} d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{e} x^{2} d x + \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} d x$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Étape 4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e} - (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.1.1

Évaluez $\frac{1}{3} x^{3}$ sur $e$ et sur $1$ .

$(\frac{1}{3} e^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Étape 5.1.2

Évaluez $\ln (| x |)$ sur $e$ et sur $1$ .

$\frac{1}{3} e^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Étape 5.1.3

Simplifiez

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Étape 5.1.3.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $e^{3}$ .

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Étape 5.1.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Étape 5.1.3.4

Pour écrire $- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{3}}{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Étape 5.1.3.5

Associez $- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{3}}{3} + \frac{- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}$

Étape 5.1.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{e^{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}$

Étape 5.1.3.7

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{e^{3} - 3 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))}{3} - \frac{1}{3}$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{e^{3} - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})}{3} - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{e^{3} - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |}) - 1}{3}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

$e$ est d’environ $2.71828182$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{e^{3} - 3 \ln (\frac{e}{| 1 |}) - 1}{3}$

Étape 5.3.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{e^{3} - 3 \ln (\frac{e}{1}) - 1}{3}$

Étape 5.3.3

Divisez $e$ par $1$ .

$\frac{e^{3} - 3 \ln (e) - 1}{3}$

Étape 5.3.4

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\frac{e^{3} - 3 \cdot 1 - 1}{3}$

Étape 5.3.5

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{e^{3} - 3 - 1}{3}$

Étape 5.3.6

Soustrayez $1$ de $- 3$ .

$\frac{e^{3} - 4}{3}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{e^{3} - 4}{3}$

Forme décimale :

$5.36184564 \dots$

Étape 7