Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 2}^{0} \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{4} x^{3} - x d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 2}^{0} \frac{1}{2} x^{4} d x + \int_{- 2}^{0} \frac{1}{4} x^{3} d x + \int_{- 2}^{0} - x d x$

Étape 2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{- 2}^{0} x^{4} d x + \int_{- 2}^{0} \frac{1}{4} x^{3} d x + \int_{- 2}^{0} - x d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{5} x^{5}]_{- 2}^{0} + \int_{- 2}^{0} \frac{1}{4} x^{3} d x + \int_{- 2}^{0} - x d x$

Étape 4

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \frac{1}{5} x^{5}]_{- 2}^{0} + \frac{1}{4} \int_{- 2}^{0} x^{3} d x + \int_{- 2}^{0} - x d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{5} x^{5}]_{- 2}^{0} + \frac{1}{4} \frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} + \int_{- 2}^{0} - x d x$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \frac{1}{5} x^{5}]_{- 2}^{0} + \frac{1}{4} \frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - \int_{- 2}^{0} x d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{5} x^{5}]_{- 2}^{0} + \frac{1}{4} \frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{0})$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{5} x^{5}]_{- 2}^{0} + \frac{1}{4} \frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{0})$

Étape 8.2

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Évaluez $\frac{1}{5} x^{5}$ sur $0$ et sur $- 2$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{1}{5} {(- 2)}^{5}) + \frac{1}{4} \frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{0})$

Étape 8.2.2

Évaluez $\frac{1}{4} x^{4}$ sur $0$ et sur $- 2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - \frac{1}{5} {(- 2)}^{5}) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{0})$

Étape 8.2.3

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $0$ et sur $- 2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - \frac{1}{5} {(- 2)}^{5}) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.4.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} \cdot 0 - \frac{1}{5} {(- 2)}^{5}) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.2

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $0$ .

$\frac{1}{2} (0 - \frac{1}{5} {(- 2)}^{5}) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.3

Élevez $- 2$ à la puissance $5$ .

$\frac{1}{2} (0 - \frac{1}{5} \cdot - 32) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.4

Multipliez $- 32$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} (0 + 32 (\frac{1}{5})) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.5

Associez $32$ et $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{2} (0 + \frac{32}{5}) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.6

Additionnez $0$ et $\frac{32}{5}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{32}{5} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.7

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{32}{5}$ .

$\frac{32}{2 \cdot 5} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.8

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{32}{10} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.9

Annulez le facteur commun à $32$ et $10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.4.9.1

Factorisez $2$ à partir de $32$ .

$\frac{2 (16)}{10} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.9.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.4.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{2 \cdot 16}{2 \cdot 5} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 16}{2 \cdot 5} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.10

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.11

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $0$ .

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.12

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 - \frac{1}{4} \cdot 16) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.13

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 - 16 (\frac{1}{4})) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.14

Associez $- 16$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 + \frac{- 16}{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.15

Annulez le facteur commun à $- 16$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.4.15.1

Factorisez $4$ à partir de $- 16$ .

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 + \frac{4 \cdot - 4}{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.15.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.4.15.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 + \frac{4 \cdot - 4}{4 (1)}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.15.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 + \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.15.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 + \frac{- 4}{1}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.15.2.4

Divisez $- 4$ par $1$ .

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 - 4) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.16

Soustrayez $4$ de $0$ .

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} \cdot - 4 - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.17

Associez $\frac{1}{4}$ et $- 4$ .

$\frac{16}{5} + \frac{- 4}{4} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.18

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.4.18.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$\frac{16}{5} + \frac{4 \cdot - 1}{4} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.18.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.4.18.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{16}{5} + \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.18.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{16}{5} + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.18.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{16}{5} + \frac{- 1}{1} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.18.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\frac{16}{5} - 1 - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.19

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{16}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.20

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{16}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.21

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{16 - 1 \cdot 5}{5} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.22

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.4.22.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{16 - 5}{5} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.22.2

Soustrayez $5$ de $16$ .

$\frac{11}{5} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.23

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{11}{5} - (\frac{0}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.24

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.4.24.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\frac{11}{5} - (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.24.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.4.24.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{11}{5} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.24.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{11}{5} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.24.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{11}{5} - (\frac{0}{1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.24.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{11}{5} - (0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.25

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\frac{11}{5} - (0 - \frac{4}{2})$

Étape 8.2.4.26

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.4.26.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{11}{5} - (0 - \frac{2 \cdot 2}{2})$

Étape 8.2.4.26.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.4.26.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{11}{5} - (0 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)})$

Étape 8.2.4.26.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{11}{5} - (0 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1})$

Étape 8.2.4.26.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{11}{5} - (0 - \frac{2}{1})$

Étape 8.2.4.26.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{11}{5} - (0 - 1 \cdot 2)$

Étape 8.2.4.27

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{11}{5} - (0 - 2)$

Étape 8.2.4.28

Soustrayez $2$ de $0$ .

$\frac{11}{5} - - 2$

Étape 8.2.4.29

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{11}{5} + 2$

Étape 8.2.4.30

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{11}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5}$

Étape 8.2.4.31

Associez $2$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{11}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5}$

Étape 8.2.4.32

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{11 + 2 \cdot 5}{5}$

Étape 8.2.4.33

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.4.33.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{11 + 10}{5}$

Étape 8.2.4.33.2

Additionnez $11$ et $10$ .

$\frac{21}{5}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{21}{5}$

Forme décimale :

$4.2$

Forme de nombre mixte :

$4 \frac{1}{5}$

Étape 10