Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{2}^{3} \frac{x}{x^{2} - 1} d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{2} - 1$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{2} - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x^{2} - 1$ .

$u_{lower} = 2^{2} - 1$

Étape 1.3

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Étape 1.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$u_{lower} = 4 - 1$

Étape 1.3.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$u_{lower} = 3$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x^{2} - 1$ .

$u_{upper} = 3^{2} - 1$

Étape 1.5

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Étape 1.5.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$u_{upper} = 9 - 1$

Étape 1.5.2

Soustrayez $1$ de $9$ .

$u_{upper} = 8$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 8$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{3}^{8} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int_{3}^{8} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Étape 2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\int_{3}^{8} \frac{1}{2 u} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{3}^{8} \frac{1}{u} d u$

Étape 4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{3}^{8}$

Étape 5

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $8$ et sur $3$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| 8 |) - \ln (| 3 |))$

Étape 6

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Étape 6.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 8 |}{| 3 |})$

Étape 6.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (\frac{| 8 |}{| 3 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 8 |}{| 3 |})}{2}$

Étape 7

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Étape 7.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $8$ est $8$ .

$\frac{\ln (\frac{8}{| 3 |})}{2}$

Étape 7.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$\frac{\ln (\frac{8}{3})}{2}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\ln (\frac{8}{3})}{2}$

Forme décimale :

$0.49041462 \dots$

Étape 9