Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{2}^{3} - x^{2} + 5 x - 6 d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{2}^{3} - x^{2} d x + \int_{2}^{3} 5 x d x + \int_{2}^{3} - 6 d x$

Étape 2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{2}^{3} x^{2} d x + \int_{2}^{3} 5 x d x + \int_{2}^{3} - 6 d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} 5 x d x + \int_{2}^{3} - 6 d x$

Étape 4

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} 5 x d x + \int_{2}^{3} - 6 d x$

Étape 5

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{3}) + 5 \int_{2}^{3} x d x + \int_{2}^{3} - 6 d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{3}) + 5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} - 6 d x$

Étape 7

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{3}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} - 6 d x$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{3}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{3}) + - 6 x]_{2}^{3}$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $3$ et sur $2$ .

$- ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{3}) + - 6 x]_{2}^{3}$

Étape 9.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $3$ et sur $2$ .

$- (\frac{3^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + - 6 x]_{2}^{3}$

Étape 9.3

Évaluez $- 6 x$ sur $3$ et sur $2$ .

$- (\frac{3^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Étape 9.4

Simplifiez

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Étape 9.4.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$- (\frac{27}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Étape 9.4.2

Annulez le facteur commun à $27$ et $3$ .

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Étape 9.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Étape 9.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{2^{3}}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Étape 9.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{2^{3}}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Étape 9.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- (\frac{9}{1} - \frac{2^{3}}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Étape 9.4.2.2.4

Divisez $9$ par $1$ .

$- (9 - \frac{2^{3}}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Étape 9.4.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- (9 - \frac{8}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Étape 9.4.4

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Étape 9.4.5

Associez $9$ et $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Étape 9.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{9 \cdot 3 - 8}{3} + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Étape 9.4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.7.1

Multipliez $9$ par $3$ .

$- \frac{27 - 8}{3} + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Étape 9.4.7.2

Soustrayez $8$ de $27$ .

$- \frac{19}{3} + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Étape 9.4.8

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- \frac{19}{3} + 5 (\frac{9}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Étape 9.4.9

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{19}{3} + 5 (\frac{9}{2} - \frac{4}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Étape 9.4.10

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 9.4.10.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- \frac{19}{3} + 5 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Étape 9.4.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{19}{3} + 5 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Étape 9.4.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{19}{3} + 5 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Étape 9.4.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{19}{3} + 5 (\frac{9}{2} - \frac{2}{1}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Étape 9.4.10.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$- \frac{19}{3} + 5 (\frac{9}{2} - 1 \cdot 2) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Étape 9.4.11

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{19}{3} + 5 (\frac{9}{2} - 2) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Étape 9.4.12

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{19}{3} + 5 (\frac{9}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Étape 9.4.13

Associez $- 2$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{19}{3} + 5 (\frac{9}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Étape 9.4.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{19}{3} + 5 \frac{9 - 2 \cdot 2}{2} + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Étape 9.4.15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.15.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$- \frac{19}{3} + 5 \frac{9 - 4}{2} + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Étape 9.4.15.2

Soustrayez $4$ de $9$ .

$- \frac{19}{3} + 5 (\frac{5}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Étape 9.4.16

Associez $5$ et $\frac{5}{2}$ .

$- \frac{19}{3} + \frac{5 \cdot 5}{2} + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Étape 9.4.17

Multipliez $5$ par $5$ .

$- \frac{19}{3} + \frac{25}{2} + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Étape 9.4.18

Pour écrire $- \frac{19}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{19}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{25}{2} + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Étape 9.4.19

Pour écrire $\frac{25}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{19}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{25}{2} \cdot \frac{3}{3} + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Étape 9.4.20

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 9.4.20.1

Multipliez $\frac{19}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{19 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{25}{2} \cdot \frac{3}{3} + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Étape 9.4.20.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{19 \cdot 2}{6} + \frac{25}{2} \cdot \frac{3}{3} + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Étape 9.4.20.3

Multipliez $\frac{25}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{19 \cdot 2}{6} + \frac{25 \cdot 3}{2 \cdot 3} + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Étape 9.4.20.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \frac{19 \cdot 2}{6} + \frac{25 \cdot 3}{6} + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Étape 9.4.21

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 19 \cdot 2 + 25 \cdot 3}{6} + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Étape 9.4.22

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.22.1

Multipliez $- 19$ par $2$ .

$\frac{- 38 + 25 \cdot 3}{6} + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Étape 9.4.22.2

Multipliez $25$ par $3$ .

$\frac{- 38 + 75}{6} + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Étape 9.4.22.3

Additionnez $- 38$ et $75$ .

$\frac{37}{6} + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Étape 9.4.23

Multipliez $- 6$ par $3$ .

$\frac{37}{6} - 18 + 6 \cdot 2$

Étape 9.4.24

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{37}{6} - 18 + 12$

Étape 9.4.25

Additionnez $- 18$ et $12$ .

$\frac{37}{6} - 6$

Étape 9.4.26

Pour écrire $- 6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{37}{6} - 6 \cdot \frac{6}{6}$

Étape 9.4.27

Associez $- 6$ et $\frac{6}{6}$ .

$\frac{37}{6} + \frac{- 6 \cdot 6}{6}$

Étape 9.4.28

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{37 - 6 \cdot 6}{6}$

Étape 9.4.29

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.29.1

Multipliez $- 6$ par $6$ .

$\frac{37 - 36}{6}$

Étape 9.4.29.2

Soustrayez $36$ de $37$ .

$\frac{1}{6}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{6}$

Forme décimale :

$0.1\overline{6}$

Étape 11