Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{4} \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{4} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{4} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| x |)]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} x^{- 2} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{4} - (- x^{- 1}]_{1}^{4})$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1.1

Évaluez $\ln (| x |)$ sur $4$ et sur $1$ .

$(\ln (| 4 |)) - \ln (| 1 |) - (- x^{- 1}]_{1}^{4})$

Étape 6.1.2

Évaluez $- x^{- 1}$ sur $4$ et sur $1$ .

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 6.1.3

Simplifiez

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Étape 6.1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{4} + 1^{- 1})$

Étape 6.1.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{4} + 1)$

Étape 6.1.3.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})$

Étape 6.1.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - \frac{- 1 + 4}{4}$

Étape 6.1.3.5

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - \frac{3}{4}$

Étape 6.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 4 |}{| 1 |}) - \frac{3}{4}$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $4$ est $4$ .

$\ln (\frac{4}{| 1 |}) - \frac{3}{4}$

Étape 6.3.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\ln (\frac{4}{1}) - \frac{3}{4}$

Étape 6.3.3

Divisez $4$ par $1$ .

$\ln (4) - \frac{3}{4}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\ln (4) - \frac{3}{4}$

Forme décimale :

$0.63629436 \dots$

Étape 8