Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{4} 4 x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 1 d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{4} 4 x^{3} d x + \int_{1}^{4} - 2 x^{2} d x + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

Étape 2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int_{1}^{4} x^{3} d x + \int_{1}^{4} - 2 x^{2} d x + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 2 x^{2} d x + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

Étape 4

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 2 x^{2} d x + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

Étape 5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 \int_{1}^{4} x^{2} d x + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

Étape 7

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

Étape 8

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 3 \int_{1}^{4} x d x + \int_{1}^{4} d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} d x$

Étape 10

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} d x$

Étape 11

Appliquez la règle de la constante.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + x]_{1}^{4}$

Étape 12

Remplacez et simplifiez.

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Étape 12.1

Évaluez $\frac{x^{4}}{4}$ sur $4$ et sur $1$ .

$4 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + x]_{1}^{4}$

Étape 12.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $4$ et sur $1$ .

$4 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + x]_{1}^{4}$

Étape 12.3

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $4$ et sur $1$ .

$4 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + x]_{1}^{4}$

Étape 12.4

Évaluez $x$ sur $4$ et sur $1$ .

$4 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Étape 12.5

Simplifiez

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Étape 12.5.1

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$4 (\frac{256}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Étape 12.5.2

Annulez le facteur commun à $256$ et $4$ .

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Étape 12.5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $256$ .

$4 (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Étape 12.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.5.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$4 (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Étape 12.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Étape 12.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 (\frac{64}{1} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Étape 12.5.2.2.4

Divisez $64$ par $1$ .

$4 (64 - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Étape 12.5.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 (64 - \frac{1}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Étape 12.5.4

Pour écrire $64$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$4 (64 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Étape 12.5.5

Associez $64$ et $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{64 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Étape 12.5.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 \frac{64 \cdot 4 - 1}{4} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Étape 12.5.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.5.7.1

Multipliez $64$ par $4$ .

$4 \frac{256 - 1}{4} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Étape 12.5.7.2

Soustrayez $1$ de $256$ .

$4 (\frac{255}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Étape 12.5.8

Associez $4$ et $\frac{255}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 255}{4} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Étape 12.5.9

Multipliez $4$ par $255$ .

$\frac{1020}{4} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Étape 12.5.10

Annulez le facteur commun à $1020$ et $4$ .

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Étape 12.5.10.1

Factorisez $4$ à partir de $1020$ .

$\frac{4 \cdot 255}{4} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Étape 12.5.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.5.10.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 \cdot 255}{4 (1)} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Étape 12.5.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 255}{4 \cdot 1} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Étape 12.5.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{255}{1} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Étape 12.5.10.2.4

Divisez $255$ par $1$ .

$255 - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Étape 12.5.11

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$255 - 2 (\frac{64}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Étape 12.5.12

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$255 - 2 (\frac{64}{3} - \frac{1}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Étape 12.5.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$255 - 2 \frac{64 - 1}{3} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Étape 12.5.14

Soustrayez $1$ de $64$ .

$255 - 2 (\frac{63}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Étape 12.5.15

Annulez le facteur commun à $63$ et $3$ .

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Étape 12.5.15.1

Factorisez $3$ à partir de $63$ .

$255 - 2 \frac{3 \cdot 21}{3} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Étape 12.5.15.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.5.15.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$255 - 2 \frac{3 \cdot 21}{3 (1)} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Étape 12.5.15.2.2

Annulez le facteur commun.

$255 - 2 \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Étape 12.5.15.2.3

Réécrivez l’expression.

$255 - 2 (\frac{21}{1}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Étape 12.5.15.2.4

Divisez $21$ par $1$ .

$255 - 2 \cdot 21 + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Étape 12.5.16

Multipliez $- 2$ par $21$ .

$255 - 42 + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Étape 12.5.17

Soustrayez $42$ de $255$ .

$213 + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Étape 12.5.18

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$213 + 3 (\frac{16}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Étape 12.5.19

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 12.5.19.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$213 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Étape 12.5.19.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.5.19.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$213 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Étape 12.5.19.2.2

Annulez le facteur commun.

$213 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Étape 12.5.19.2.3

Réécrivez l’expression.

$213 + 3 (\frac{8}{1} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Étape 12.5.19.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$213 + 3 (8 - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Étape 12.5.20

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$213 + 3 (8 - \frac{1}{2}) + 4 - 1$

Étape 12.5.21

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$213 + 3 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + 4 - 1$

Étape 12.5.22

Associez $8$ et $\frac{2}{2}$ .

$213 + 3 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + 4 - 1$

Étape 12.5.23

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$213 + 3 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} + 4 - 1$

Étape 12.5.24

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.5.24.1

Multipliez $8$ par $2$ .

$213 + 3 \frac{16 - 1}{2} + 4 - 1$

Étape 12.5.24.2

Soustrayez $1$ de $16$ .

$213 + 3 (\frac{15}{2}) + 4 - 1$

Étape 12.5.25

Associez $3$ et $\frac{15}{2}$ .

$213 + \frac{3 \cdot 15}{2} + 4 - 1$

Étape 12.5.26

Multipliez $3$ par $15$ .

$213 + \frac{45}{2} + 4 - 1$

Étape 12.5.27

Pour écrire $213$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$213 \cdot \frac{2}{2} + \frac{45}{2} + 4 - 1$

Étape 12.5.28

Associez $213$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{213 \cdot 2}{2} + \frac{45}{2} + 4 - 1$

Étape 12.5.29

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{213 \cdot 2 + 45}{2} + 4 - 1$

Étape 12.5.30

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.5.30.1

Multipliez $213$ par $2$ .

$\frac{426 + 45}{2} + 4 - 1$

Étape 12.5.30.2

Additionnez $426$ et $45$ .

$\frac{471}{2} + 4 - 1$

Étape 12.5.31

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\frac{471}{2} + 3$

Étape 12.5.32

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{471}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 12.5.33

Associez $3$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{471}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Étape 12.5.34

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{471 + 3 \cdot 2}{2}$

Étape 12.5.35

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.5.35.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{471 + 6}{2}$

Étape 12.5.35.2

Additionnez $471$ et $6$ .

$\frac{477}{2}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{477}{2}$

Forme décimale :

$238.5$

Forme de nombre mixte :

$238 \frac{1}{2}$

Étape 14