Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{4} 5 y \sqrt{y} + 3 \sqrt{y} d y$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} 5 y \cdot y^{\frac{1}{2}} + 3 \sqrt{y} d y$

Étape 1.2

Multipliez $y$ par $y^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1

Déplacez $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} 5 (y^{\frac{1}{2}} y) + 3 \sqrt{y} d y$

Étape 1.2.2

Multipliez $y^{\frac{1}{2}}$ par $y$ .

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Étape 1.2.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\int_{1}^{4} 5 (y^{\frac{1}{2}} y^{1}) + 3 \sqrt{y} d y$

Étape 1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{1}{2} + 1} + 3 \sqrt{y} d y$

Étape 1.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 3 \sqrt{y} d y$

Étape 1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{1 + 2}{2}} + 3 \sqrt{y} d y$

Étape 1.2.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{3}{2}} + 3 \sqrt{y} d y$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{3}{2}} d y + \int_{1}^{4} 3 \sqrt{y} d y$

Étape 3

Comme $5$ est constant par rapport à $y$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int_{1}^{4} y^{\frac{3}{2}} d y + \int_{1}^{4} 3 \sqrt{y} d y$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $y$ est $\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 \sqrt{y} d y$

Étape 5

Associez $\frac{2}{5}$ et $y^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 \sqrt{y} d y$

Étape 6

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + 3 \int_{1}^{4} \sqrt{y} d y$

Étape 7

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + 3 \int_{1}^{4} y^{\frac{1}{2}} d y$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $y$ est $\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}$ .

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4})$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $y^{\frac{3}{2}}$ .

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4})$

Étape 9.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.2.1

Évaluez $\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}$ sur $4$ et sur $1$ .

$5 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4})$

Étape 9.2.2

Évaluez $\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}$ sur $4$ et sur $1$ .

$5 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3

Simplifiez

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Étape 9.2.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$5 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$5 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$5 (\frac{2 \cdot 2^{5}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.4

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$5 (\frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.5

Multipliez $2$ par $32$ .

$5 (\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$5 (\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 1}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.7

Multipliez $2$ par $1$ .

$5 (\frac{64}{5} - \frac{2}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 \frac{64 - 2}{5} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.9

Soustrayez $2$ de $64$ .

$5 (\frac{62}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.10

Associez $5$ et $\frac{62}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 62}{5} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.11

Multipliez $5$ par $62$ .

$\frac{310}{5} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.12

Annulez le facteur commun à $310$ et $5$ .

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Étape 9.2.3.12.1

Factorisez $5$ à partir de $310$ .

$\frac{5 \cdot 62}{5} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.12.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{5 \cdot 62}{5 (1)} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cdot 62}{5 \cdot 1} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{62}{1} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.12.2.4

Divisez $62$ par $1$ .

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.13

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$62 + 3 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.14

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.15

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.3.15.1

Annulez le facteur commun.

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.15.2

Réécrivez l’expression.

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.16

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.17

Multipliez $2$ par $8$ .

$62 + 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.18

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$62 + 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3})$

Étape 9.2.3.19

Multipliez $2$ par $1$ .

$62 + 3 (\frac{16}{3} - \frac{2}{3})$

Étape 9.2.3.20

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$62 + 3 \frac{16 - 2}{3}$

Étape 9.2.3.21

Soustrayez $2$ de $16$ .

$62 + 3 (\frac{14}{3})$

Étape 9.2.3.22

Associez $3$ et $\frac{14}{3}$ .

$62 + \frac{3 \cdot 14}{3}$

Étape 9.2.3.23

Multipliez $3$ par $14$ .

$62 + \frac{42}{3}$

Étape 9.2.3.24

Annulez le facteur commun à $42$ et $3$ .

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Étape 9.2.3.24.1

Factorisez $3$ à partir de $42$ .

$62 + \frac{3 \cdot 14}{3}$

Étape 9.2.3.24.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.24.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$62 + \frac{3 \cdot 14}{3 (1)}$

Étape 9.2.3.24.2.2

Annulez le facteur commun.

$62 + \frac{3 \cdot 14}{3 \cdot 1}$

Étape 9.2.3.24.2.3

Réécrivez l’expression.

$62 + \frac{14}{1}$

Étape 9.2.3.24.2.4

Divisez $14$ par $1$ .

$62 + 14$

Étape 9.2.3.25

Additionnez $62$ et $14$ .

$76$

Étape 10