Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{4} (1 - u) \sqrt{u} d u$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} (1 - u) u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 2

Développez $(1 - u) u^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{1}^{4} 1 u^{\frac{1}{2}} - u \cdot u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 2.2

Multipliez $u^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u \cdot u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 2.3

Factorisez le signe négatif.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - (u \cdot u^{\frac{1}{2}}) d u$

Étape 2.4

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - (u^{1} u^{\frac{1}{2}}) d u$

Étape 2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u^{1 + \frac{1}{2}} d u$

Étape 2.6

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d u$

Étape 2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{2 + 1}{2}} d u$

Étape 2.8

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{1}^{4} - u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} - (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4})$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Associez $\frac{2}{5}$ et $u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4})$

Étape 7.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Évaluez $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ sur $4$ et sur $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4})$

Étape 7.2.2

Évaluez $\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ sur $4$ et sur $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 7.2.3

Simplifiez

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Étape 7.2.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 7.2.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 7.2.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 7.2.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 7.2.3.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 7.2.3.5

Associez $\frac{2}{3}$ et $8$ .

$\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 7.2.3.6

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 7.2.3.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 7.2.3.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 7.2.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{16 - 2}{3} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 7.2.3.10

Soustrayez $2$ de $16$ .

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 7.2.3.11

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 7.2.3.12

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 7.2.3.13

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.3.13.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 7.2.3.13.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{5}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 7.2.3.14

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 7.2.3.15

Multipliez $2$ par $32$ .

$\frac{14}{3} - (\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 7.2.3.16

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{14}{3} - (\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 1}{5})$

Étape 7.2.3.17

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{14}{3} - (\frac{64}{5} - \frac{2}{5})$

Étape 7.2.3.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{14}{3} - \frac{64 - 2}{5}$

Étape 7.2.3.19

Soustrayez $2$ de $64$ .

$\frac{14}{3} - \frac{62}{5}$

Étape 7.2.3.20

Pour écrire $\frac{14}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{14}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{62}{5}$

Étape 7.2.3.21

Pour écrire $- \frac{62}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{62}{5} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 7.2.3.22

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $15$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.2.3.22.1

Multipliez $\frac{14}{3}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{14 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{62}{5} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 7.2.3.22.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{14 \cdot 5}{15} - \frac{62}{5} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 7.2.3.22.3

Multipliez $\frac{62}{5}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14 \cdot 5}{15} - \frac{62 \cdot 3}{5 \cdot 3}$

Étape 7.2.3.22.4

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{14 \cdot 5}{15} - \frac{62 \cdot 3}{15}$

Étape 7.2.3.23

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{14 \cdot 5 - 62 \cdot 3}{15}$

Étape 7.2.3.24

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.24.1

Multipliez $14$ par $5$ .

$\frac{70 - 62 \cdot 3}{15}$

Étape 7.2.3.24.2

Multipliez $- 62$ par $3$ .

$\frac{70 - 186}{15}$

Étape 7.2.3.24.3

Soustrayez $186$ de $70$ .

$\frac{- 116}{15}$

Étape 7.2.3.25

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{116}{15}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{116}{15}$

Forme décimale :

$- 7.7\overline{3}$

Forme de nombre mixte :

$- 7 \frac{11}{15}$

Étape 9