Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{4} \frac{t^{8} - t^{4}}{t^{6}} d t$

Étape 1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1

Simplifiez

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Étape 1.1.1

Factorisez $t^{4}$ à partir de $t^{8} - t^{4}$ .

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Étape 1.1.1.1

Factorisez $t^{4}$ à partir de $t^{8}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{t^{4} t^{4} - t^{4}}{t^{6}} d t$

Étape 1.1.1.2

Factorisez $t^{4}$ à partir de $- t^{4}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{t^{4} t^{4} + t^{4} \cdot - 1}{t^{6}} d t$

Étape 1.1.1.3

Factorisez $t^{4}$ à partir de $t^{4} t^{4} + t^{4} \cdot - 1$ .

$\int_{1}^{4} \frac{t^{4} (t^{4} - 1)}{t^{6}} d t$

Étape 1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.1

Factorisez $t^{4}$ à partir de $t^{6}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{t^{4} (t^{4} - 1)}{t^{4} t^{2}} d t$

Étape 1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int_{1}^{4} \frac{t^{4} (t^{4} - 1)}{t^{4} t^{2}} d t$

Étape 1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int_{1}^{4} \frac{t^{4} - 1}{t^{2}} d t$

Étape 1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.2.1

Retirez $t^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int_{1}^{4} (t^{4} - 1) {(t^{2})}^{- 1} d t$

Étape 1.2.2

Multipliez les exposants dans ${(t^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} (t^{4} - 1) t^{2 \cdot - 1} d t$

Étape 1.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int_{1}^{4} (t^{4} - 1) t^{- 2} d t$

Étape 2

Multipliez $(t^{4} - 1) t^{- 2}$ .

$\int_{1}^{4} t^{4} t^{- 2} - 1 t^{- 2} d t$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez $t^{4}$ par $t^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{1}^{4} t^{4 - 2} - 1 t^{- 2} d t$

Étape 3.1.2

Soustrayez $2$ de $4$ .

$\int_{1}^{4} t^{2} - 1 t^{- 2} d t$

Étape 3.2

Réécrivez $- 1 t^{- 2}$ comme $- t^{- 2}$ .

$\int_{1}^{4} t^{2} - t^{- 2} d t$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{4} t^{2} d t + \int_{1}^{4} - t^{- 2} d t$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - t^{- 2} d t$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} t^{- 2} d t$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{- 2}$ par rapport à $t$ est $- t^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{4} - (- t^{- 1}]_{1}^{4})$

Étape 8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.1

Évaluez $\frac{1}{3} t^{3}$ sur $4$ et sur $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (- t^{- 1}]_{1}^{4})$

Étape 8.2

Évaluez $- t^{- 1}$ sur $4$ et sur $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 8.3.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $64$ .

$\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 8.3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 8.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{64}{3} - \frac{1}{3} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 8.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{64 - 1}{3} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 8.3.6

Soustrayez $1$ de $64$ .

$\frac{63}{3} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 8.3.7

Annulez le facteur commun à $63$ et $3$ .

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Étape 8.3.7.1

Factorisez $3$ à partir de $63$ .

$\frac{3 \cdot 21}{3} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 8.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 21}{3 (1)} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 8.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 8.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{21}{1} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 8.3.7.2.4

Divisez $21$ par $1$ .

$21 - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 8.3.8

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$21 - (- \frac{1}{4} + 1^{- 1})$

Étape 8.3.9

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$21 - (- \frac{1}{4} + 1)$

Étape 8.3.10

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$21 - (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})$

Étape 8.3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$21 - \frac{- 1 + 4}{4}$

Étape 8.3.12

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$21 - \frac{3}{4}$

Étape 8.3.13

Pour écrire $21$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$21 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4}$

Étape 8.3.14

Associez $21$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{21 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4}$

Étape 8.3.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{21 \cdot 4 - 3}{4}$

Étape 8.3.16

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.16.1

Multipliez $21$ par $4$ .

$\frac{84 - 3}{4}$

Étape 8.3.16.2

Soustrayez $3$ de $84$ .

$\frac{81}{4}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{81}{4}$

Forme décimale :

$20.25$

Forme de nombre mixte :

$20 \frac{1}{4}$

Étape 10