Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{4} \sqrt{\frac{2}{x}} d x$

Étape 1

Réécrivez $\sqrt{\frac{2}{x}}$ comme $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}} d x$

Étape 2

Comme $\sqrt{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\sqrt{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Étape 3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 3.2

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 3.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 3.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 3.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{2} 2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4}$

Étape 5

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.1

Évaluez $2 x^{\frac{1}{2}}$ sur $4$ et sur $1$ .

$\sqrt{2} ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{2} (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2} (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{2} (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{2} (2 \cdot 2^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.2.4

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{2} (2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.2.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sqrt{2} (4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.2.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{2} (4 - 2 \cdot 1)$

Étape 5.2.7

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\sqrt{2} (4 - 2)$

Étape 5.2.8

Soustrayez $2$ de $4$ .

$\sqrt{2} \cdot 2$

Étape 5.2.9

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$2 \sqrt{2}$

Forme décimale :

$2.82842712 \dots$

Étape 7