Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{32} \sqrt[5]{x} d x$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{x}$ comme $x^{\frac{1}{5}}$ .

$\int_{1}^{32} x^{\frac{1}{5}} d x$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{5}}$ par rapport à $x$ est $\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}}$ .

$\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}}]_{1}^{32}$

Étape 3

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.1

Évaluez $\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}}$ sur $32$ et sur $1$ .

$(\frac{5}{6} \cdot 32^{\frac{6}{5}}) - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Réécrivez $32$ comme $2^{5}$ .

$\frac{5}{6} \cdot {(2^{5})}^{\frac{6}{5}} - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

Étape 3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{6} \cdot 2^{5 (\frac{6}{5})} - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

Étape 3.2.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5}{6} \cdot 2^{5 (\frac{6}{5})} - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

Étape 3.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{6} \cdot 2^{6} - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

Étape 3.2.4

Élevez $2$ à la puissance $6$ .

$\frac{5}{6} \cdot 64 - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

Étape 3.2.5

Associez $\frac{5}{6}$ et $64$ .

$\frac{5 \cdot 64}{6} - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

Étape 3.2.6

Multipliez $5$ par $64$ .

$\frac{320}{6} - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

Étape 3.2.7

Annulez le facteur commun à $320$ et $6$ .

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Étape 3.2.7.1

Factorisez $2$ à partir de $320$ .

$\frac{2 (160)}{6} - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

Étape 3.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \cdot 160}{2 \cdot 3} - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

Étape 3.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 160}{2 \cdot 3} - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

Étape 3.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{160}{3} - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

Étape 3.2.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{160}{3} - \frac{5}{6} \cdot 1$

Étape 3.2.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{160}{3} - \frac{5}{6}$

Étape 3.2.10

Pour écrire $\frac{160}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{160}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{6}$

Étape 3.2.11

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.2.11.1

Multipliez $\frac{160}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{160 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{5}{6}$

Étape 3.2.11.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{160 \cdot 2}{6} - \frac{5}{6}$

Étape 3.2.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{160 \cdot 2 - 5}{6}$

Étape 3.2.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.13.1

Multipliez $160$ par $2$ .

$\frac{320 - 5}{6}$

Étape 3.2.13.2

Soustrayez $5$ de $320$ .

$\frac{315}{6}$

Étape 3.2.14

Annulez le facteur commun à $315$ et $6$ .

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Étape 3.2.14.1

Factorisez $3$ à partir de $315$ .

$\frac{3 (105)}{6}$

Étape 3.2.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.14.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 \cdot 105}{3 \cdot 2}$

Étape 3.2.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 105}{3 \cdot 2}$

Étape 3.2.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{105}{2}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{105}{2}$

Forme décimale :

$52.5$

Forme de nombre mixte :

$52 \frac{1}{2}$

Étape 5