Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{2} {(x + \frac{1}{x})}^{2} d x$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Réécrivez ${(x + \frac{1}{x})}^{2}$ comme $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})$ .

$\int_{1}^{2} (x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x}) d x$

Étape 1.2

Développez $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{1}^{2} x (x + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x}) d x$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x}) d x$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Étape 1.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Étape 1.3.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Étape 1.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Étape 1.3.1.3.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x \cdot x} d x$

Étape 1.3.1.3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1} x} d x$

Étape 1.3.1.3.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

Étape 1.3.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

Étape 1.3.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 1.3.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int_{1}^{2} x^{1} x + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int_{1}^{2} x^{1} x^{1} + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{1}^{2} x^{1 + 1} + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int_{1}^{2} x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} 2 d x + \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} 2 d x + \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 5

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + 2 x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 6

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 6.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + 2 x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 6.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 6.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + 2 x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 6.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + 2 x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + 2 x]_{1}^{2} + - x^{- 1}]_{1}^{2}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Simplifiez

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Étape 8.1.1

Associez $\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}$ et $2 x]_{1}^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 2 x]_{1}^{2} + - x^{- 1}]_{1}^{2}$

Étape 8.1.2

Associez $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x]_{1}^{2}$ et $- x^{- 1}]_{1}^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 2 x - x^{- 1}]_{1}^{2}$

Étape 8.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Évaluez $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x - x^{- 1}$ sur $2$ et sur $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2 - 2^{- 1}) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Étape 8.2.2

Simplifiez

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Étape 8.2.2.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 + 2 \cdot 2 - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Étape 8.2.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $8$ .

$\frac{8}{3} + 2 \cdot 2 - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Étape 8.2.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{8}{3} + 4 - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Étape 8.2.2.4

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3} - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Étape 8.2.2.5

Associez $4$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Étape 8.2.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 + 4 \cdot 3}{3} - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Étape 8.2.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.2.7.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{8 + 12}{3} - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Étape 8.2.2.7.2

Additionnez $8$ et $12$ .

$\frac{20}{3} - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Étape 8.2.2.8

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{20}{3} - \frac{1}{2} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Étape 8.2.2.9

Pour écrire $\frac{20}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{20}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Étape 8.2.2.10

Pour écrire $- \frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Étape 8.2.2.11

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.2.2.11.1

Multipliez $\frac{20}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{20 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Étape 8.2.2.11.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{20 \cdot 2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Étape 8.2.2.11.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20 \cdot 2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Étape 8.2.2.11.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{20 \cdot 2}{6} - \frac{3}{6} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Étape 8.2.2.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{20 \cdot 2 - 3}{6} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Étape 8.2.2.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.2.13.1

Multipliez $20$ par $2$ .

$\frac{40 - 3}{6} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Étape 8.2.2.13.2

Soustrayez $3$ de $40$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Étape 8.2.2.14

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Étape 8.2.2.15

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Étape 8.2.2.16

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} + 2 - 1^{- 1})$

Étape 8.2.2.17

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} - 1^{- 1})$

Étape 8.2.2.18

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} - 1^{- 1})$

Étape 8.2.2.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{37}{6} - (\frac{1 + 2 \cdot 3}{3} - 1^{- 1})$

Étape 8.2.2.20

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.2.20.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{1 + 6}{3} - 1^{- 1})$

Étape 8.2.2.20.2

Additionnez $1$ et $6$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{7}{3} - 1^{- 1})$

Étape 8.2.2.21

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{37}{6} - (\frac{7}{3} - 1 \cdot 1)$

Étape 8.2.2.22

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{7}{3} - 1)$

Étape 8.2.2.23

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{7}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})$

Étape 8.2.2.24

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{7}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})$

Étape 8.2.2.25

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{37}{6} - \frac{7 - 1 \cdot 3}{3}$

Étape 8.2.2.26

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.2.26.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{37}{6} - \frac{7 - 3}{3}$

Étape 8.2.2.26.2

Soustrayez $3$ de $7$ .

$\frac{37}{6} - \frac{4}{3}$

Étape 8.2.2.27

Pour écrire $- \frac{4}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{37}{6} - \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 8.2.2.28

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.2.2.28.1

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{37}{6} - \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Étape 8.2.2.28.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{37}{6} - \frac{4 \cdot 2}{6}$

Étape 8.2.2.29

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{37 - 4 \cdot 2}{6}$

Étape 8.2.2.30

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.2.30.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$\frac{37 - 8}{6}$

Étape 8.2.2.30.2

Soustrayez $8$ de $37$ .

$\frac{29}{6}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{29}{6}$

Forme décimale :

$4.8\overline{3}$

Forme de nombre mixte :

$4 \frac{5}{6}$

Étape 10