Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{3} 5 n^{- 2} - n^{- 3} d n$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{3} 5 n^{- 2} d n + \int_{1}^{3} - n^{- 3} d n$

Étape 2

Comme $5$ est constant par rapport à $n$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int_{1}^{3} n^{- 2} d n + \int_{1}^{3} - n^{- 3} d n$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $n^{- 2}$ par rapport à $n$ est $- n^{- 1}$ .

$5 (- n^{- 1}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - n^{- 3} d n$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $n$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$5 (- n^{- 1}]_{1}^{3}) - \int_{1}^{3} n^{- 3} d n$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $n^{- 3}$ par rapport à $n$ est $- \frac{1}{2} n^{- 2}$ .

$5 (- n^{- 1}]_{1}^{3}) - (- \frac{1}{2} n^{- 2}]_{1}^{3})$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez

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Étape 6.1.1

Associez $n^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$5 (- n^{- 1}]_{1}^{3}) - (- \frac{n^{- 2}}{2}]_{1}^{3})$

Étape 6.1.2

Placez $n^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- n^{- 1}]_{1}^{3}) - (- \frac{1}{2 n^{2}}]_{1}^{3})$

Étape 6.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Évaluez $- n^{- 1}$ sur $3$ et sur $1$ .

$5 ((- 3^{- 1}) + 1^{- 1}) - (- \frac{1}{2 n^{2}}]_{1}^{3})$

Étape 6.2.2

Évaluez $- \frac{1}{2 n^{2}}$ sur $3$ et sur $1$ .

$5 ((- 3^{- 1}) + 1^{- 1}) - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 6.2.3

Simplifiez

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Étape 6.2.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- \frac{1}{3} + 1^{- 1}) - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 6.2.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$5 (- \frac{1}{3} + 1) - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 6.2.3.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$5 (- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}) - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 6.2.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 \frac{- 1 + 3}{3} - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 6.2.3.5

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$5 (\frac{2}{3}) - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 6.2.3.6

Associez $5$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{3} - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 6.2.3.7

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{10}{3} - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 6.2.3.8

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{10}{3} - (- \frac{1}{2 \cdot 9} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 6.2.3.9

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{10}{3} - (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 6.2.3.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{10}{3} - (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 1})$

Étape 6.2.3.11

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{10}{3} - (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2})$

Étape 6.2.3.12

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{10}{3} - (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{9})$

Étape 6.2.3.13

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $18$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.2.3.13.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{10}{3} - (- \frac{1}{18} + \frac{9}{2 \cdot 9})$

Étape 6.2.3.13.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{10}{3} - (- \frac{1}{18} + \frac{9}{18})$

Étape 6.2.3.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{10}{3} - \frac{- 1 + 9}{18}$

Étape 6.2.3.15

Additionnez $- 1$ et $9$ .

$\frac{10}{3} - \frac{8}{18}$

Étape 6.2.3.16

Annulez le facteur commun à $8$ et $18$ .

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Étape 6.2.3.16.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2 (4)}{18}$

Étape 6.2.3.16.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.16.2.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9}$

Étape 6.2.3.16.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{10}{3} - \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9}$

Étape 6.2.3.16.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{10}{3} - \frac{4}{9}$

Étape 6.2.3.17

Pour écrire $\frac{10}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{9}$

Étape 6.2.3.18

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.2.3.18.1

Multipliez $\frac{10}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10 \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{4}{9}$

Étape 6.2.3.18.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{10 \cdot 3}{9} - \frac{4}{9}$

Étape 6.2.3.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{10 \cdot 3 - 4}{9}$

Étape 6.2.3.20

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.3.20.1

Multipliez $10$ par $3$ .

$\frac{30 - 4}{9}$

Étape 6.2.3.20.2

Soustrayez $4$ de $30$ .

$\frac{26}{9}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{26}{9}$

Forme décimale :

$2.\overline{8}$

Forme de nombre mixte :

$2 \frac{8}{9}$

Étape 8