Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{3} w^{2} - 4 w + 5 d w$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{3} w^{2} d w + \int_{1}^{3} - 4 w d w + \int_{1}^{3} 5 d w$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $w^{2}$ par rapport à $w$ est $\frac{1}{3} w^{3}$ .

$\frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - 4 w d w + \int_{1}^{3} 5 d w$

Étape 3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $w$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{3} - 4 \int_{1}^{3} w d w + \int_{1}^{3} 5 d w$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $w$ par rapport à $w$ est $\frac{1}{2} w^{2}$ .

$\frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{3} - 4 (\frac{1}{2} w^{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 5 d w$

Étape 5

Associez $\frac{1}{2}$ et $w^{2}$ .

$\frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{3} - 4 (\frac{w^{2}}{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 5 d w$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{3} - 4 (\frac{w^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 5 w]_{1}^{3}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Associez $\frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{3}$ et $5 w]_{1}^{3}$ .

$\frac{1}{3} w^{3} + 5 w]_{1}^{3} - 4 (\frac{w^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Étape 7.2

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Évaluez $\frac{1}{3} w^{3} + 5 w$ sur $3$ et sur $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 5 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 (\frac{w^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Étape 7.2.2

Évaluez $\frac{w^{2}}{2}$ sur $3$ et sur $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 5 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 27 + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $27$ .

$\frac{27}{3} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.3

Annulez le facteur commun à $27$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{1} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.3.2.4

Divisez $9$ par $1$ .

$9 + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.4

Multipliez $5$ par $3$ .

$9 + 15 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.5

Additionnez $9$ et $15$ .

$24 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$24 - (\frac{1}{3} \cdot 1 + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.7

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$24 - (\frac{1}{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.8

Multipliez $5$ par $1$ .

$24 - (\frac{1}{3} + 5) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.9

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$24 - (\frac{1}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.10

Associez $5$ et $\frac{3}{3}$ .

$24 - (\frac{1}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$24 - \frac{1 + 5 \cdot 3}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.12

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.12.1

Multipliez $5$ par $3$ .

$24 - \frac{1 + 15}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.12.2

Additionnez $1$ et $15$ .

$24 - \frac{16}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.13

Pour écrire $24$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$24 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.14

Associez $24$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{24 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{24 \cdot 3 - 16}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.16

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.16.1

Multipliez $24$ par $3$ .

$\frac{72 - 16}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.16.2

Soustrayez $16$ de $72$ .

$\frac{56}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.17

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{56}{3} - 4 (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.18

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{56}{3} - 4 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2})$

Étape 7.2.3.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{56}{3} - 4 \frac{9 - 1}{2}$

Étape 7.2.3.20

Soustrayez $1$ de $9$ .

$\frac{56}{3} - 4 (\frac{8}{2})$

Étape 7.2.3.21

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.21.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{56}{3} - 4 \frac{2 \cdot 4}{2}$

Étape 7.2.3.21.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.21.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{56}{3} - 4 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Étape 7.2.3.21.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{56}{3} - 4 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.21.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{56}{3} - 4 (\frac{4}{1})$

Étape 7.2.3.21.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$\frac{56}{3} - 4 \cdot 4$

Étape 7.2.3.22

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$\frac{56}{3} - 16$

Étape 7.2.3.23

Pour écrire $- 16$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{56}{3} - 16 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 7.2.3.24

Associez $- 16$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{56}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3}$

Étape 7.2.3.25

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{56 - 16 \cdot 3}{3}$

Étape 7.2.3.26

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.26.1

Multipliez $- 16$ par $3$ .

$\frac{56 - 48}{3}$

Étape 7.2.3.26.2

Soustrayez $48$ de $56$ .

$\frac{8}{3}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{8}{3}$

Forme décimale :

$2.\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$2 \frac{2}{3}$

Étape 9