Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{2} 2 e^{- 4 x} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{2} 2 e^{- 4 x} d x + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{1}^{2} e^{- 4 x} d x + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 3

Laissez $u = - 4 x$ . Alors $d u = - 4 d x$ , donc $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Laissez $u = - 4 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Différenciez $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 3.1.2

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Étape 3.1.4

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$- 4$

Étape 3.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = - 4 x$ .

$u_{lower} = - 4 \cdot 1$

Étape 3.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u_{lower} = - 4$

Étape 3.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = - 4 x$ .

$u_{upper} = - 4 \cdot 2$

Étape 3.5

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$u_{upper} = - 8$

Étape 3.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 4$

$u_{upper} = - 8$

Étape 3.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$2 \int_{- 4}^{- 8} e^{u} \frac{1}{- 4} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 \int_{- 4}^{- 8} e^{u} (- \frac{1}{4}) d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 4.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{4}$ .

$2 \int_{- 4}^{- 8} - \frac{e^{u}}{4} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (- \int_{- 4}^{- 8} \frac{e^{u}}{4} d u) + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \int_{- 4}^{- 8} \frac{e^{u}}{4} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 7

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 (\frac{1}{4} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u) + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $- 2$ .

$\frac{- 2}{4} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{4} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 8.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 8.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 8.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{2} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 8.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 9

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 11

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 11.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 11.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Étape 13

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Évaluez $e^{u}$ sur $- 8$ et sur $- 4$ .

$- \frac{1}{2} ((e^{- 8}) - e^{- 4}) - (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Étape 13.2

Évaluez $- x^{- 1}$ sur $2$ et sur $1$ .

$- \frac{1}{2} ((e^{- 8}) - e^{- 4}) - ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 13.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Étape 13.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - (- \frac{1}{2} + 1)$

Étape 13.3.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Étape 13.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - \frac{- 1 + 2}{2}$

Étape 13.3.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - \frac{1}{2}$

Étape 13.3.6

Pour écrire $- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 13.3.7

Associez $- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4})$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 13.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) \cdot 2 - 1}{2}$

Étape 13.3.9

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 (\frac{1}{2}) (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

Étape 13.3.10

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{- 2}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

Étape 13.3.11

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.3.11.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot - 1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

Étape 13.3.11.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.3.11.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

Étape 13.3.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

Étape 13.3.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{- 1}{1} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

Étape 13.3.11.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

Étape 14

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1 (1)}{2}$

Étape 14.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1 (1)$ .

$\frac{- (e^{- 8} - e^{- 4} + 1)}{2}$

Étape 14.3

Réécrivez $- (e^{- 8} - e^{- 4} + 1)$ comme $- 1 (e^{- 8} - e^{- 4} + 1)$ .

$\frac{- 1 (e^{- 8} - e^{- 4} + 1)}{2}$

Étape 14.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{e^{- 8} - e^{- 4} + 1}{2}$

Étape 15

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{e^{- 8} - e^{- 4} + 1}{2}$

Forme décimale :

$- 0.49100991 \dots$

Étape 16