Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sin^{5} (4 x) d x$

Étape 1

Laissez $u_{1} = 4 x$ . Alors $d u_{1} = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Laissez $u_{1} = 4 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 1.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \sin^{5} (u_{1}) \frac{1}{4} d u_{1}$

Étape 2

Associez $\sin^{5} (u_{1})$ et $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{\sin^{5} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int \sin^{5} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 4

Factorisez $\sin^{4} (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} \int \sin^{4} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Étape 5

Simplifiez en factorisant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{4} \int {\sin (u_{1})}^{2 (2)} \sin (u_{1}) d u_{1}$

Étape 5.2

Réécrivez ${\sin (u_{1})}^{2 (2)}$ comme une élévation à une puissance.

$\frac{1}{4} \int {(\sin^{2} (u_{1}))}^{2} \sin (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\sin^{2} (u_{1})$ comme $1 - \cos^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} \int {(1 - \cos^{2} (u_{1}))}^{2} \sin (u_{1}) d u_{1}$

Étape 7

Laissez $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Alors $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ , donc $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Laissez $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1

Différenciez $\cos (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

Étape 7.1.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1})$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} \int - {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2}$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (- \int {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2})$

Étape 9

Développez ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Réécrivez ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ comme $(1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2})$ .

$\frac{1}{4} (- \int (1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Étape 9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4} (- \int 1 (1 - {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Étape 9.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4} (- \int 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Étape 9.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4} (- \int 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Étape 9.5

Déplacez ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Étape 9.6

Déplacez ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Étape 9.7

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Étape 9.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Étape 9.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Étape 9.10

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Étape 9.11

Multipliez ${u_{2}}^{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Étape 9.12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2})$

Étape 9.13

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Étape 9.14

Soustrayez ${u_{2}}^{2}$ de $- {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 - 2 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Étape 9.15

Remettez dans l’ordre $- 2 {u_{2}}^{2}$ et ${u_{2}}^{4}$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 + {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Étape 9.16

Déplacez $1$ .

$\frac{1}{4} (- \int {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} + 1 d u_{2})$

Étape 10

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{4} (- (\int {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2}))$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{4}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + \int - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2}))$

Étape 12

Comme $- 2$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2}))$

Étape 13

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int d u_{2}))$

Étape 14

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + u_{2} + C))$

Étape 15

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et ${u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C))$

Étape 15.1.2

Associez $\frac{1}{5}$ et ${u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{4} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C))$

Étape 15.2

Simplifiez

$\frac{1}{4} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} - \frac{2 {u_{2}}^{3}}{3} + u_{2})) + C$

Étape 16

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} (- (\frac{\cos^{5} (u_{1})}{5} - \frac{2 \cos^{3} (u_{1})}{3} + \cos (u_{1}))) + C$

Étape 16.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $4 x$ .

$\frac{1}{4} (- (\frac{\cos^{5} (4 x)}{5} - \frac{2 \cos^{3} (4 x)}{3} + \cos (4 x))) + C$

Étape 17

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} \cos^{5} (4 x) - \frac{2}{3} \cos^{3} (4 x) + \cos (4 x))) + C$