Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{2} t^{5} - t^{3} + 1 d t$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{2} t^{5} d t + \int_{1}^{2} - t^{3} d t + \int_{1}^{2} d t$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{5}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{6} t^{6}$ .

$\frac{1}{6} t^{6}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - t^{3} d t + \int_{1}^{2} d t$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{6} t^{6}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} t^{3} d t + \int_{1}^{2} d t$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{3}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{4} t^{4}$ .

$\frac{1}{6} t^{6}]_{1}^{2} - (\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} d t$

Étape 5

Associez $\frac{1}{4}$ et $t^{4}$ .

$\frac{1}{6} t^{6}]_{1}^{2} - (\frac{t^{4}}{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} d t$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{6} t^{6}]_{1}^{2} - (\frac{t^{4}}{4}]_{1}^{2}) + t]_{1}^{2}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{6} t^{6}]_{1}^{2}$ et $t]_{1}^{2}$ .

$\frac{1}{6} t^{6} + t]_{1}^{2} - (\frac{t^{4}}{4}]_{1}^{2})$

Étape 7.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Évaluez $\frac{1}{6} t^{6} + t$ sur $2$ et sur $1$ .

$(\frac{1}{6} \cdot 2^{6} + 2) - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - (\frac{t^{4}}{4}]_{1}^{2})$

Étape 7.2.2

Évaluez $\frac{t^{4}}{4}$ sur $2$ et sur $1$ .

$(\frac{1}{6} \cdot 2^{6} + 2) - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3

Simplifiez

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Étape 7.2.3.1

Élevez $2$ à la puissance $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot 64 + 2 - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.2

Associez $\frac{1}{6}$ et $64$ .

$\frac{64}{6} + 2 - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.3

Annulez le facteur commun à $64$ et $6$ .

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Étape 7.2.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $64$ .

$\frac{2 (32)}{6} + 2 - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} + 2 - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} + 2 - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{32}{3} + 2 - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.4

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{32}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.5

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{32}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{32 + 2 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.7.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{32 + 6}{3} - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.7.2

Additionnez $32$ et $6$ .

$\frac{38}{3} - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{38}{3} - (\frac{1}{6} \cdot 1 + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.9

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $1$ .

$\frac{38}{3} - (\frac{1}{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.10

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{38}{3} - (\frac{1}{6} + \frac{6}{6}) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{38}{3} - \frac{1 + 6}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.12

Additionnez $1$ et $6$ .

$\frac{38}{3} - \frac{7}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.13

Pour écrire $\frac{38}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{38}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{7}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.14

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.2.3.14.1

Multipliez $\frac{38}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{38 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{7}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.14.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{38 \cdot 2}{6} - \frac{7}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{38 \cdot 2 - 7}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.16

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.16.1

Multipliez $38$ par $2$ .

$\frac{76 - 7}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.16.2

Soustrayez $7$ de $76$ .

$\frac{69}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.17

Annulez le facteur commun à $69$ et $6$ .

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Étape 7.2.3.17.1

Factorisez $3$ à partir de $69$ .

$\frac{3 (23)}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.17.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.17.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 \cdot 23}{3 \cdot 2} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.17.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 23}{3 \cdot 2} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.17.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{23}{2} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.18

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{23}{2} - (\frac{16}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.19

Annulez le facteur commun à $16$ et $4$ .

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Étape 7.2.3.19.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\frac{23}{2} - (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.19.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.19.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{23}{2} - (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.19.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{23}{2} - (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.19.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{23}{2} - (\frac{4}{1} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.19.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$\frac{23}{2} - (4 - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.20

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{23}{2} - (4 - \frac{1}{4})$

Étape 7.2.3.21

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{23}{2} - (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4})$

Étape 7.2.3.22

Associez $4$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{23}{2} - (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4})$

Étape 7.2.3.23

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{23}{2} - \frac{4 \cdot 4 - 1}{4}$

Étape 7.2.3.24

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.24.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{23}{2} - \frac{16 - 1}{4}$

Étape 7.2.3.24.2

Soustrayez $1$ de $16$ .

$\frac{23}{2} - \frac{15}{4}$

Étape 7.2.3.25

Pour écrire $\frac{23}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{23}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{15}{4}$

Étape 7.2.3.26

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.2.3.26.1

Multipliez $\frac{23}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{23 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{15}{4}$

Étape 7.2.3.26.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{23 \cdot 2}{4} - \frac{15}{4}$

Étape 7.2.3.27

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{23 \cdot 2 - 15}{4}$

Étape 7.2.3.28

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.28.1

Multipliez $23$ par $2$ .

$\frac{46 - 15}{4}$

Étape 7.2.3.28.2

Soustrayez $15$ de $46$ .

$\frac{31}{4}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{31}{4}$

Forme décimale :

$7.75$

Forme de nombre mixte :

$7 \frac{3}{4}$

Étape 9