Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{- 1} {(12 x + 11)}^{2} d x$

Étape 1

Laissez $u = 12 x + 11$ . Alors $d u = 12 d x$ , donc $\frac{1}{12} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 12 x + 11$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $12 x + 11$ .

$\frac{d}{d x} [12 x + 11]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x + 11$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $12$ par $1$ .

$12 + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $11$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $12$ et $0$ .

$12$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 12 x + 11$ .

$u_{lower} = 12 \cdot 1 + 11$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Multipliez $12$ par $1$ .

$u_{lower} = 12 + 11$

Étape 1.3.2

Additionnez $12$ et $11$ .

$u_{lower} = 23$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 12 x + 11$ .

$u_{upper} = 12 \cdot - 1 + 11$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez $12$ par $- 1$ .

$u_{upper} = - 12 + 11$

Étape 1.5.2

Additionnez $- 12$ et $11$ .

$u_{upper} = - 1$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 23$

$u_{upper} = - 1$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{23}^{- 1} u^{2} \frac{1}{12} d u$

Étape 2

Associez $u^{2}$ et $\frac{1}{12}$ .

$\int_{23}^{- 1} \frac{u^{2}}{12} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{12}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{12}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{12} \int_{23}^{- 1} u^{2} d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{12} \frac{1}{3} u^{3}]_{23}^{- 1}$

Étape 5

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.1

Évaluez $\frac{1}{3} u^{3}$ sur $- 1$ et sur $23$ .

$\frac{1}{12} ((\frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 23^{3})$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1}{3} \cdot - 1 - \frac{1}{3} \cdot 23^{3})$

Étape 5.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{12} (\frac{- 1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 23^{3})$

Étape 5.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 23^{3})$

Étape 5.2.4

Élevez $23$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 12167)$

Étape 5.2.5

Multipliez $12167$ par $- 1$ .

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} - 12167 (\frac{1}{3}))$

Étape 5.2.6

Associez $- 12167$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} + \frac{- 12167}{3})$

Étape 5.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} - \frac{12167}{3})$

Étape 5.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{- 1 - 12167}{3}$

Étape 5.2.9

Soustrayez $12167$ de $- 1$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{- 12168}{3}$

Étape 5.2.10

Annulez le facteur commun à $- 12168$ et $3$ .

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Étape 5.2.10.1

Factorisez $3$ à partir de $- 12168$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot - 4056}{3}$

Étape 5.2.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.10.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot - 4056}{3 (1)}$

Étape 5.2.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot - 4056}{3 \cdot 1}$

Étape 5.2.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{- 4056}{1}$

Étape 5.2.10.2.4

Divisez $- 4056$ par $1$ .

$\frac{1}{12} \cdot - 4056$

Étape 5.2.11

Associez $\frac{1}{12}$ et $- 4056$ .

$\frac{- 4056}{12}$

Étape 5.2.12

Annulez le facteur commun à $- 4056$ et $12$ .

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Étape 5.2.12.1

Factorisez $12$ à partir de $- 4056$ .

$\frac{12 \cdot - 338}{12}$

Étape 5.2.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.12.2.1

Factorisez $12$ à partir de $12$ .

$\frac{12 \cdot - 338}{12 (1)}$

Étape 5.2.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 \cdot - 338}{12 \cdot 1}$

Étape 5.2.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 338}{1}$

Étape 5.2.12.2.4

Divisez $- 338$ par $1$ .

$- 338$

Étape 6