Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{π} x \sin (2 x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \sin (2 x)$ .

$x (- \frac{1}{2} \cos (2 x))]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Étape 2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Associez $\cos (2 x)$ et $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{\cos (2 x)}{2})]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Étape 2.2

Associez $x$ et $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Étape 3

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $- \frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x)$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x)$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x$

Étape 5

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 5.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 5.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Étape 5.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 5.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 π$

Étape 5.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Étape 5.6

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Étape 6

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u)$

Étape 8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u$

Étape 8.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{4} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u$

Étape 9

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{2 π}$

Étape 10

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Évaluez $- \frac{x \cos (2 x)}{2}$ sur $π$ et sur $0$ .

$(- \frac{π \cos (2 π)}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{2 π}$

Étape 10.2

Évaluez $\sin (u)$ sur $2 π$ et sur $0$ .

$(- \frac{π \cos (2 π)}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Étape 10.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{0 \cos (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Étape 10.3.2

Multipliez $0$ par $\cos (0)$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{0}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Étape 10.3.3

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{2 (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Étape 10.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Étape 10.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Étape 10.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{0}{1} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Étape 10.3.3.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + 0 + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Étape 10.3.4

Additionnez $- \frac{π \cos (2 π)}{2}$ et $0$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Étape 10.3.5

Pour écrire $\frac{1}{4} (\sin (2 π) - \sin (0))$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (2 π) - \sin (0)) \cdot \frac{2}{2}$

Étape 10.3.6

Associez $\frac{1}{4} (\sin (2 π) - \sin (0))$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{\frac{1}{4} (\sin (2 π) - \sin (0)) \cdot 2}{2}$

Étape 10.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{1}{4} (\sin (2 π) - \sin (0)) \cdot 2}{2}$

Étape 10.3.8

Associez $2$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{2}{4} (\sin (2 π) - \sin (0))}{2}$

Étape 10.3.9

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.9.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{2 (1)}{4} (\sin (2 π) - \sin (0))}{2}$

Étape 10.3.9.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} (\sin (2 π) - \sin (0))}{2}$

Étape 10.3.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} (\sin (2 π) - \sin (0))}{2}$

Étape 10.3.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0))}{2}$

Étape 11

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0)}{2}$

Étape 11.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0)}{2}$

Étape 11.3

Additionnez $\sin (2 π)$ et $0$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{1}{2} \sin (2 π)}{2}$

Étape 11.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (2 π)$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{\sin (2 π)}{2}}{2}$

Étape 11.5

Multipliez $\frac{- π \cos (2 π) + \frac{\sin (2 π)}{2}}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{- π \cos (2 π) + \frac{\sin (2 π)}{2}}{2}$

Étape 11.6

Associez.

$\frac{2 (- π \cos (2 π) + \frac{\sin (2 π)}{2})}{2 \cdot 2}$

Étape 11.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- π \cos (2 π)) + 2 \frac{\sin (2 π)}{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 11.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- π \cos (2 π)) + 2 \frac{\sin (2 π)}{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 11.8.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (- π \cos (2 π)) + \sin (2 π)}{2 \cdot 2}$

Étape 11.9

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 (π \cos (2 π)) + \sin (2 π)}{2 \cdot 2}$

Étape 11.10

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π)}{4}$

Étape 11.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 π \cos (2 π)$ .

$\frac{- (2 π \cos (2 π)) + \sin (2 π)}{4}$

Étape 11.12

Factorisez $- 1$ à partir de $\sin (2 π)$ .

$\frac{- (2 π \cos (2 π)) - 1 (- \sin (2 π))}{4}$

Étape 11.13

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 π \cos (2 π)) - 1 (- \sin (2 π))$ .

$\frac{- (2 π \cos (2 π) - \sin (2 π))}{4}$

Étape 11.14

Réécrivez $- (2 π \cos (2 π) - \sin (2 π))$ comme $- 1 (2 π \cos (2 π) - \sin (2 π))$ .

$\frac{- 1 (2 π \cos (2 π) - \sin (2 π))}{4}$

Étape 11.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 π \cos (2 π) - \sin (2 π)}{4}$

Étape 12

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- \frac{2 π \cos (0) - \sin (2 π)}{4}$

Étape 12.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- \frac{2 π \cdot 1 - \sin (2 π)}{4}$

Étape 12.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \frac{2 π - \sin (2 π)}{4}$

Étape 12.4

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- \frac{2 π - \sin (0)}{4}$

Étape 12.5

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$- \frac{2 π - 0}{4}$

Étape 12.6

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- \frac{2 π + 0}{4}$

Étape 12.7

Annulez le facteur commun à $2 π + 0$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.7.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$- \frac{2 (π) + 0}{4}$

Étape 12.7.2

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$- \frac{2 (π) + 2 (0)}{4}$

Étape 12.7.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (π) + 2 (0)$ .

$- \frac{2 (π + 0)}{4}$

Étape 12.7.4

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.7.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- \frac{2 (π + 0)}{2 (2)}$

Étape 12.7.4.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 (π + 0)}{2 \cdot 2}$

Étape 12.7.4.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{π + 0}{2}$

Étape 12.8

Additionnez $π$ et $0$ .

$- \frac{π}{2}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{π}{2}$

Forme décimale :

$- 1.57079632 \dots$