Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{π} x \cos (3 x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \cos (3 x)$ .

$x (\frac{1}{3} \sin (3 x))]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $\sin (3 x)$ .

$x \frac{\sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Étape 2.2

Associez $x$ et $\frac{\sin (3 x)}{3}$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Étape 3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{π} \sin (3 x) d x)$

Étape 4

Laissez $u = 3 x$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 4.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 4.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 4.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Étape 4.3

Multipliez $3$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 4.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 π$

Étape 4.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3 π$

Étape 4.6

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{3} \int_{0}^{3 π} \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Étape 5

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{3} \int_{0}^{3 π} \frac{\sin (u)}{3} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int_{0}^{3 π} \sin (u) d u)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int_{0}^{3 π} \sin (u) d u$

Étape 7.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{9} \int_{0}^{3 π} \sin (u) d u$

Étape 8

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{9} - \cos (u)]_{0}^{3 π}$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1

Évaluez $\frac{x \sin (3 x)}{3}$ sur $π$ et sur $0$ .

$(\frac{π \sin (3 π)}{3}) - \frac{0 \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{1}{9} - \cos (u)]_{0}^{3 π}$

Étape 9.2

Évaluez $- \cos (u)$ sur $3 π$ et sur $0$ .

$(\frac{π \sin (3 π)}{3}) - \frac{0 \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{0 \sin (0)}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Étape 9.3.2

Multipliez $0$ par $\sin (0)$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{0}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Étape 9.3.3

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 9.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{3 (0)}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Étape 9.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Étape 9.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Étape 9.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{0}{1} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Étape 9.3.3.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - 0 - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Étape 9.3.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} + 0 - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Étape 9.3.5

Additionnez $\frac{π \sin (3 π)}{3}$ et $0$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Étape 9.3.6

Pour écrire $- \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0))$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0)) \cdot \frac{3}{3}$

Étape 9.3.7

Associez $- \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0))$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} + \frac{- \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0)) \cdot 3}{3}$

Étape 9.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \sin (3 π) - \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0)) \cdot 3}{3}$

Étape 9.3.9

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{π \sin (3 π) - 3 (\frac{1}{9}) (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Étape 9.3.10

Associez $- 3$ et $\frac{1}{9}$ .

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{- 3}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Étape 9.3.11

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $9$ .

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Étape 9.3.11.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{3 (- 1)}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Étape 9.3.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.11.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Étape 9.3.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Étape 9.3.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{- 1}{3} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Étape 9.3.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{π \sin (3 π) - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Étape 10

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{π \sin (3 π) - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{π \sin (π) - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

Étape 11.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{π \sin (0) - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

Étape 11.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{π \cdot 0 - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

Étape 11.4

Multipliez $π$ par $0$ .

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

Étape 11.5

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- \cos (π) + 1)}{3}$

Étape 11.6

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- - \cos (0) + 1)}{3}$

Étape 11.7

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- (- 1 \cdot 1) + 1)}{3}$

Étape 11.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- - 1 + 1)}{3}$

Étape 11.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{0 - \frac{1}{3} (1 + 1)}{3}$

Étape 11.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{0 - \frac{1}{3} \cdot 2}{3}$

Étape 11.11

Multipliez $- \frac{1}{3} \cdot 2$ .

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Étape 11.11.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{0 - 2 (\frac{1}{3})}{3}$

Étape 11.11.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{0 + \frac{- 2}{3}}{3}$

Étape 11.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{0 - \frac{2}{3}}{3}$

Étape 11.13

Soustrayez $\frac{2}{3}$ de $0$ .

$\frac{- \frac{2}{3}}{3}$

Étape 11.14

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 11.15

Multipliez $- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 11.15.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 3}$

Étape 11.15.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{2}{9}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{2}{9}$

Forme décimale :

$- 0.\overline{2}$