Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{π} x + \sin (x) d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{π} x d x + \int_{0}^{π} \sin (x) d x$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} \sin (x) d x$

Étape 3

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{π} + - \cos (x)]_{0}^{π}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{π}$ et $- \cos (x)]_{0}^{π}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - \cos (x)]_{0}^{π}$

Étape 4.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Évaluez $\frac{1}{2} x^{2} - \cos (x)$ sur $π$ et sur $0$ .

$(\frac{1}{2} π^{2} - \cos (π)) - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - \cos (0))$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $π^{2}$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \cos (π) - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - \cos (0))$

Étape 4.2.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \cos (π) - (\frac{1}{2} \cdot 0 - \cos (0))$

Étape 4.2.2.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \cos (π) - (0 - \cos (0))$

Étape 4.2.2.4

Soustrayez $\cos (0)$ de $0$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \cos (π) - - \cos (0)$

Étape 4.2.2.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \cos (π) + 1 \cos (0)$

Étape 4.2.2.6

Multipliez $\cos (0)$ par $1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \cos (π) + \cos (0)$

Étape 4.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \cos (π) + 1$

Étape 4.4

Simplifiez

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Étape 4.4.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{π^{2}}{2} - - \cos (0) + 1$

Étape 4.4.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - (- 1 \cdot 1) + 1$

Étape 4.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - - 1 + 1$

Étape 4.4.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{π^{2}}{2} + 1 + 1$

Étape 4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{π^{2}}{2} + 2$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{π^{2}}{2} + 2$

Forme décimale :

$6.93480220 \dots$