Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{π} \sin (4 x) d x$

Étape 1

Laissez $u = 4 x$ . Alors $d u = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 4 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 1.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 4 x$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0$

Étape 1.3

Multipliez $4$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 4 x$ .

$u_{upper} = 4 π$

Étape 1.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4 π$

Étape 1.6

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{4 π} \sin (u) \frac{1}{4} d u$

Étape 2

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{4}$ .

$\int_{0}^{4 π} \frac{\sin (u)}{4} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{4 π} \sin (u) d u$

Étape 4

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{4 π}$

Étape 5

Évaluez $- \cos (u)$ sur $4 π$ et sur $0$ .

$\frac{1}{4} (- \cos (4 π) + \cos (0))$

Étape 6

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{4} (- \cos (4 π) + 1)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{1}{4} (- \cos (0) + 1)$

Étape 7.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{4} (- 1 \cdot 1 + 1)$

Étape 7.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{4} (- 1 + 1)$

Étape 7.4

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0$

Étape 7.5

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $0$ .

$0$