Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{π} 6 e^{x} + 9 \sin (x) d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{π} 6 e^{x} d x + \int_{0}^{π} 9 \sin (x) d x$

Étape 2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int_{0}^{π} e^{x} d x + \int_{0}^{π} 9 \sin (x) d x$

Étape 3

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$6 (e^{x}]_{0}^{π}) + \int_{0}^{π} 9 \sin (x) d x$

Étape 4

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$6 (e^{x}]_{0}^{π}) + 9 \int_{0}^{π} \sin (x) d x$

Étape 5

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$6 (e^{x}]_{0}^{π}) + 9 (- \cos (x)]_{0}^{π})$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1.1

Évaluez $e^{x}$ sur $π$ et sur $0$ .

$6 ((e^{π}) - e^{0}) + 9 (- \cos (x)]_{0}^{π})$

Étape 6.1.2

Évaluez $- \cos (x)$ sur $π$ et sur $0$ .

$6 (e^{π} - e^{0}) + 9 (- \cos (π) + \cos (0))$

Étape 6.1.3

Simplifiez

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Étape 6.1.3.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$6 (e^{π} - 1 \cdot 1) + 9 (- \cos (π) + \cos (0))$

Étape 6.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$6 (e^{π} - 1) + 9 (- \cos (π) + \cos (0))$

Étape 6.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$6 (e^{π} - 1) + 9 (- \cos (π) + 1)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 e^{π} + 6 \cdot - 1 + 9 (- \cos (π) + 1)$

Étape 7.1.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$6 e^{π} - 6 + 9 (- \cos (π) + 1)$

Étape 7.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.3.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$6 e^{π} - 6 + 9 (- - \cos (0) + 1)$

Étape 7.1.3.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$6 e^{π} - 6 + 9 (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

Étape 7.1.3.3

Multipliez $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 7.1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$6 e^{π} - 6 + 9 (- - 1 + 1)$

Étape 7.1.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$6 e^{π} - 6 + 9 (1 + 1)$

Étape 7.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$6 e^{π} - 6 + 9 \cdot 2$

Étape 7.1.5

Multipliez $9$ par $2$ .

$6 e^{π} - 6 + 18$

Étape 7.2

Additionnez $- 6$ et $18$ .

$6 e^{π} + 12$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$6 e^{π} + 12$

Forme décimale :

$150.84415579 \dots$