Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{π} {(1 + \cos (7 t))}^{2} \sin (7 t) d t$

Étape 1

Laissez $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ . Alors $d u_{2} = - 7 \sin (7 t) d t$ , donc $- \frac{1}{7} d u_{2} = \sin (7 t) d t$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $1 + \cos (7 t)$ .

$\frac{d}{d t} [1 + \cos (7 t)]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \cos (7 t)$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

Étape 1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$ .

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Étape 1.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \cos (t)$ et $g (t) = 7 t$ .

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Étape 1.1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $7 t$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [7 t]$

Étape 1.1.3.1.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$0 - \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [7 t]$

Étape 1.1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $7 t$ .

$0 - \sin (7 t) \frac{d}{d t} [7 t]$

Étape 1.1.3.2

Comme $7$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $7 t$ par rapport à $t$ est $7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 - \sin (7 t) (7 \frac{d}{d t} [t])$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - \sin (7 t) (7 \cdot 1)$

Étape 1.1.3.4

Multipliez $7$ par $1$ .

$0 - \sin (7 t) \cdot 7$

Étape 1.1.3.5

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$0 - 7 \sin (7 t)$

Étape 1.1.4

Soustrayez $7 \sin (7 t)$ de $0$ .

$- 7 \sin (7 t)$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ .

$u_{lower} = 1 + \cos (7 \cdot 0)$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $7$ par $0$ .

$u_{lower} = 1 + \cos (0)$

Étape 1.3.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

Étape 1.3.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$u_{lower} = 2$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ .

$u_{upper} = 1 + \cos (7 π)$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$u_{upper} = 1 + \cos (π)$

Étape 1.5.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$u_{upper} = 1 - \cos (0)$

Étape 1.5.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Étape 1.5.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Étape 1.5.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$u_{upper} = 0$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 0$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{2}^{0} {u_{2}}^{2} \frac{1}{- 7} d u_{2}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{2}^{0} {u_{2}}^{2} (- \frac{1}{7}) d u_{2}$

Étape 2.2

Associez ${u_{2}}^{2}$ et $\frac{1}{7}$ .

$\int_{2}^{0} - \frac{{u_{2}}^{2}}{7} d u_{2}$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{2}^{0} \frac{{u_{2}}^{2}}{7} d u_{2}$

Étape 4

Comme $\frac{1}{7}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{7}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{7} \int_{2}^{0} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$- \frac{1}{7} \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{2}^{0}$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ sur $0$ et sur $2$ .

$- \frac{1}{7} ((\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{1}{7} (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Étape 6.2.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $0$ .

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Étape 6.2.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{1}{3} \cdot 8)$

Étape 6.2.4

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{7} (0 - 8 (\frac{1}{3}))$

Étape 6.2.5

Associez $- 8$ et $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{7} (0 + \frac{- 8}{3})$

Étape 6.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{8}{3})$

Étape 6.2.7

Soustrayez $\frac{8}{3}$ de $0$ .

$- \frac{1}{7} (- \frac{8}{3})$

Étape 6.2.8

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{1}{7}) \frac{8}{3}$

Étape 6.2.9

Multipliez $\frac{1}{7}$ par $1$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{8}{3}$

Étape 6.2.10

Multipliez $\frac{1}{7}$ par $\frac{8}{3}$ .

$\frac{8}{7 \cdot 3}$

Étape 6.2.11

Multipliez $7$ par $3$ .

$\frac{8}{21}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{8}{21}$

Forme décimale :

$0.\overline{380952}$