Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{\sqrt{x}} 18 t^{9} d t$

Étape 1

Comme $18$ est constant par rapport à $t$ , placez $18$ en dehors de l’intégrale.

$18 \int_{1}^{\sqrt{x}} t^{9} d t$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{9}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{10} t^{10}$ .

$18 (\frac{1}{10} t^{10}]_{1}^{\sqrt{x}})$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{10}$ et $t^{10}$ .

$18 (\frac{t^{10}}{10}]_{1}^{\sqrt{x}})$

Étape 3.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Évaluez $\frac{t^{10}}{10}$ sur $\sqrt{x}$ et sur $1$ .

$18 ((\frac{{\sqrt{x}}^{10}}{10}) - \frac{1^{10}}{10})$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{10}$ comme $x^{5}$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$18 (\frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{10}}{10} - \frac{1^{10}}{10})$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$18 (\frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 10}}{10} - \frac{1^{10}}{10})$

Étape 3.2.2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $10$ .

$18 (\frac{x^{\frac{10}{2}}}{10} - \frac{1^{10}}{10})$

Étape 3.2.2.1.4

Annulez le facteur commun à $10$ et $2$ .

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Étape 3.2.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$18 (\frac{x^{\frac{2 \cdot 5}{2}}}{10} - \frac{1^{10}}{10})$

Étape 3.2.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.2.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$18 (\frac{x^{\frac{2 \cdot 5}{2 (1)}}}{10} - \frac{1^{10}}{10})$

Étape 3.2.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$18 (\frac{x^{\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}}}{10} - \frac{1^{10}}{10})$

Étape 3.2.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$18 (\frac{x^{\frac{5}{1}}}{10} - \frac{1^{10}}{10})$

Étape 3.2.2.1.4.2.4

Divisez $5$ par $1$ .

$18 (\frac{x^{5}}{10} - \frac{1^{10}}{10})$

Étape 3.2.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$18 (\frac{x^{5}}{10} - \frac{1}{10})$

Étape 3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$18 (\frac{1}{10} x^{5} - \frac{1}{10})$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{10}$ et $x^{5}$ .

$18 (\frac{x^{5}}{10} - \frac{1}{10})$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$18 \frac{x^{5}}{10} + 18 (- \frac{1}{10})$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$2 (9) \frac{x^{5}}{10} + 18 (- \frac{1}{10})$

Étape 4.3.2

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$2 \cdot 9 \frac{x^{5}}{2 \cdot 5} + 18 (- \frac{1}{10})$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 9 \frac{x^{5}}{2 \cdot 5} + 18 (- \frac{1}{10})$

Étape 4.3.4

Réécrivez l’expression.

$9 \frac{x^{5}}{5} + 18 (- \frac{1}{10})$

Étape 4.4

Associez $9$ et $\frac{x^{5}}{5}$ .

$\frac{9 x^{5}}{5} + 18 (- \frac{1}{10})$

Étape 4.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{10}$ dans le numérateur.

$\frac{9 x^{5}}{5} + 18 (\frac{- 1}{10})$

Étape 4.5.2

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$\frac{9 x^{5}}{5} + 2 (9) \frac{- 1}{10}$

Étape 4.5.3

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{9 x^{5}}{5} + 2 \cdot 9 \frac{- 1}{2 \cdot 5}$

Étape 4.5.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 x^{5}}{5} + 2 \cdot 9 \frac{- 1}{2 \cdot 5}$

Étape 4.5.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{9 x^{5}}{5} + 9 (\frac{- 1}{5})$

Étape 4.6

Associez $9$ et $\frac{- 1}{5}$ .

$\frac{9 x^{5}}{5} + \frac{9 \cdot - 1}{5}$

Étape 4.7

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{9 x^{5}}{5} + \frac{- 9}{5}$

Étape 4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{9 x^{5}}{5} - \frac{9}{5}$