Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{\sqrt{11}} \frac{s^{2} + \sqrt{s}}{s^{2}} d s$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{s}$ comme $s^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} \frac{s^{2} + s^{\frac{1}{2}}}{s^{2}} d s$

Étape 1.1.2

Factorisez $s^{\frac{1}{2}}$ à partir de $s^{2} + s^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.1.2.1

Factorisez $s^{\frac{1}{2}}$ à partir de $s^{2}$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} \frac{s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{3}{2}} + s^{\frac{1}{2}}}{s^{2}} d s$

Étape 1.1.2.2

Multipliez par $1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} \frac{s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{3}{2}} + s^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{s^{2}} d s$

Étape 1.1.2.3

Factorisez $s^{\frac{1}{2}}$ à partir de $s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{3}{2}} + s^{\frac{1}{2}} \cdot 1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} \frac{s^{\frac{1}{2}} (s^{\frac{3}{2}} + 1)}{s^{2}} d s$

Étape 1.1.3

Réécrivez $s^{\frac{3}{2}}$ comme ${(s^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} \frac{s^{\frac{1}{2}} ({(s^{\frac{1}{2}})}^{3} + 1)}{s^{2}} d s$

Étape 1.1.4

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} \frac{s^{\frac{1}{2}} ({(s^{\frac{1}{2}})}^{3} + 1^{3})}{s^{2}} d s$

Étape 1.1.5

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = s^{\frac{1}{2}}$ et $b = 1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} \frac{s^{\frac{1}{2}} ((s^{\frac{1}{2}} + 1) ({(s^{\frac{1}{2}})}^{2} - s^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2}))}{s^{2}} d s$

Étape 1.1.6

Simplifiez

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Étape 1.1.6.1

Multipliez les exposants dans ${(s^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.1.6.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} \frac{s^{\frac{1}{2}} ((s^{\frac{1}{2}} + 1) (s^{\frac{1}{2} \cdot 2} - s^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2}))}{s^{2}} d s$

Étape 1.1.6.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.6.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} \frac{s^{\frac{1}{2}} ((s^{\frac{1}{2}} + 1) (s^{\frac{1}{2} \cdot 2} - s^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2}))}{s^{2}} d s$

Étape 1.1.6.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} \frac{s^{\frac{1}{2}} ((s^{\frac{1}{2}} + 1) (s^{1} - s^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2}))}{s^{2}} d s$

Étape 1.1.6.2

Simplifiez

$\int_{1}^{\sqrt{11}} \frac{s^{\frac{1}{2}} ((s^{\frac{1}{2}} + 1) (s - s^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2}))}{s^{2}} d s$

Étape 1.1.6.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} \frac{s^{\frac{1}{2}} ((s^{\frac{1}{2}} + 1) (s - s^{\frac{1}{2}} + 1^{2}))}{s^{2}} d s$

Étape 1.1.6.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} \frac{s^{\frac{1}{2}} ((s^{\frac{1}{2}} + 1) (s - s^{\frac{1}{2}} + 1))}{s^{2}} d s$

$\int_{1}^{\sqrt{11}} \frac{s^{\frac{1}{2}} (s^{\frac{1}{2}} + 1) (s - s^{\frac{1}{2}} + 1)}{s^{2}} d s$

Étape 1.2

Placez $s^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} \frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (s - s^{\frac{1}{2}} + 1)}{s^{2} s^{- \frac{1}{2}}} d s$

Étape 1.3

Multipliez $s^{2}$ par $s^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} \frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (s - s^{\frac{1}{2}} + 1)}{s^{2 - \frac{1}{2}}} d s$

Étape 1.3.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} \frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (s - s^{\frac{1}{2}} + 1)}{s^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d s$

Étape 1.3.3

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} \frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (s - s^{\frac{1}{2}} + 1)}{s^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}} d s$

Étape 1.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} \frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (s - s^{\frac{1}{2}} + 1)}{s^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}} d s$

Étape 1.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} \frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (s - s^{\frac{1}{2}} + 1)}{s^{\frac{4 - 1}{2}}} d s$

Étape 1.3.5.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} \frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (s - s^{\frac{1}{2}} + 1)}{s^{\frac{3}{2}}} d s$

Étape 2

Retirez $s^{\frac{3}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} (s^{\frac{1}{2}} + 1) (s - s^{\frac{1}{2}} + 1) {(s^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d s$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${(s^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} (s^{\frac{1}{2}} + 1) (s - s^{\frac{1}{2}} + 1) s^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d s$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $- 1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} (s^{\frac{1}{2}} + 1) (s - s^{\frac{1}{2}} + 1) s^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d s$

Étape 3.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} (s^{\frac{1}{2}} + 1) (s - s^{\frac{1}{2}} + 1) s^{\frac{- 3}{2}} d s$

Étape 3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} (s^{\frac{1}{2}} + 1) (s - s^{\frac{1}{2}} + 1) s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} (s^{\frac{1}{2}} (s - s^{\frac{1}{2}} + 1) + 1 (s - s^{\frac{1}{2}} + 1)) s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} (s^{\frac{1}{2}} (s - s^{\frac{1}{2}}) + s^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1 (s - s^{\frac{1}{2}} + 1)) s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} (s^{\frac{1}{2}} s + s^{\frac{1}{2}} (- s^{\frac{1}{2}}) + s^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1 (s - s^{\frac{1}{2}} + 1)) s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} (s^{\frac{1}{2}} s + s^{\frac{1}{2}} (- s^{\frac{1}{2}}) + s^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1 (s - s^{\frac{1}{2}}) + 1 \cdot 1) s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.5

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} (s^{\frac{1}{2}} s + s^{\frac{1}{2}} (- s^{\frac{1}{2}}) + s^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1 s + 1 (- s^{\frac{1}{2}}) + 1 \cdot 1) s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.6

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} (s^{\frac{1}{2}} s + s^{\frac{1}{2}} (- s^{\frac{1}{2}}) + s^{\frac{1}{2}} \cdot 1) s^{- \frac{3}{2}} + (1 s + 1 (- s^{\frac{1}{2}}) + 1 \cdot 1) s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.7

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} (s^{\frac{1}{2}} s + s^{\frac{1}{2}} (- s^{\frac{1}{2}})) s^{- \frac{3}{2}} + s^{\frac{1}{2}} \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} + (1 s + 1 (- s^{\frac{1}{2}}) + 1 \cdot 1) s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.8

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{\frac{1}{2}} s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + s^{\frac{1}{2}} (- s^{\frac{1}{2}}) s^{- \frac{3}{2}} + s^{\frac{1}{2}} \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} + (1 s + 1 (- s^{\frac{1}{2}}) + 1 \cdot 1) s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.9

Appliquez la propriété distributive.

Étape 4.10

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{\frac{1}{2}} s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + s^{\frac{1}{2}} (- s^{\frac{1}{2}}) s^{- \frac{3}{2}} + s^{\frac{1}{2}} \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 (- s^{\frac{1}{2}}) s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.11

Remettez dans l’ordre $s^{\frac{1}{2}}$ et $- 1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{\frac{1}{2}} s \cdot s^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + s^{\frac{1}{2}} \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 (- s^{\frac{1}{2}}) s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.12

Remettez dans l’ordre $s^{\frac{1}{2}}$ et $1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{\frac{1}{2}} s \cdot s^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 (- s^{\frac{1}{2}}) s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.13

Élevez $s$ à la puissance $1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{\frac{1}{2}} s^{1} s^{- \frac{3}{2}} - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{\frac{1}{2} + 1} s^{- \frac{3}{2}} - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.15

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} s^{- \frac{3}{2}} - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{\frac{1 + 2}{2}} s^{- \frac{3}{2}} - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.17

Additionnez $1$ et $2$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{\frac{3}{2}} s^{- \frac{3}{2}} - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.18

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{\frac{3}{2} - \frac{3}{2}} - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{\frac{3 - 3}{2}} - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.20

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{\frac{0}{2}} - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.21

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 4.21.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{\frac{2 (0)}{2}} - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.21.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.21.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}} - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.21.2.2

Annulez le facteur commun.

Étape 4.21.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{\frac{0}{1}} - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.21.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{0} - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.22

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.23

Factorisez le signe négatif.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - (s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{1}{2}}) s^{- \frac{3}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.24

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.25

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{1 + 1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.26

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{2}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.27

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.27.1

Annulez le facteur commun.

Étape 4.27.2

Réécrivez l’expression.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{1} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.28

Simplifiez

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.29

Factorisez le signe négatif.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - (s \cdot s^{- \frac{3}{2}}) + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.30

Élevez $s$ à la puissance $1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - (s^{1} s^{- \frac{3}{2}}) + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.31

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{1 - \frac{3}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.32

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.33

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{2 - 3}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.34

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.35

Multipliez $s^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.36

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.37

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{\frac{1 - 3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.38

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{\frac{- 2}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.39

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.39.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.39.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.39.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.39.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.39.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{\frac{- 1}{1}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.39.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- 1} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.40

Multipliez $s$ par $1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- 1} + s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.41

Élevez $s$ à la puissance $1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- 1} + s^{1} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.42

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- 1} + s^{1 - \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.43

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- 1} + s^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.44

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- 1} + s^{\frac{2 - 3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.45

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- 1} + s^{\frac{- 1}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.46

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- 1} + s^{\frac{- 1}{2}} - s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.47

Factorisez le signe négatif.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- 1} + s^{\frac{- 1}{2}} - (s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}}) + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.48

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- 1} + s^{\frac{- 1}{2}} - s^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.49

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- 1} + s^{\frac{- 1}{2}} - s^{\frac{1 - 3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.50

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- 1} + s^{\frac{- 1}{2}} - s^{\frac{- 2}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.51

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 4.51.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- 1} + s^{\frac{- 1}{2}} - s^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.51.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.51.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- 1} + s^{\frac{- 1}{2}} - s^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.51.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- 1} + s^{\frac{- 1}{2}} - s^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.51.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- 1} + s^{\frac{- 1}{2}} - s^{\frac{- 1}{1}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.51.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- 1} + s^{\frac{- 1}{2}} - s^{- 1} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.52

Multipliez $1$ par $1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- 1} + s^{\frac{- 1}{2}} - s^{- 1} + 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.53

Multipliez $s^{- \frac{3}{2}}$ par $1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- 1} + s^{\frac{- 1}{2}} - s^{- 1} + s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.54

Remettez dans l’ordre $1$ et $- s^{\frac{- 1}{2}}$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} - s^{\frac{- 1}{2}} + 1 + s^{- 1} + s^{\frac{- 1}{2}} - s^{- 1} + s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.55

Déplacez $1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- 1} + 1 + s^{\frac{- 1}{2}} - s^{- 1} + s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.56

Remettez dans l’ordre $- s^{\frac{- 1}{2}}$ et $s^{- 1}$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{- 1} - s^{\frac{- 1}{2}} + 1 + s^{\frac{- 1}{2}} - s^{- 1} + s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.57

Remettez dans l’ordre $s^{\frac{- 1}{2}}$ et $- s^{- 1}$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{- 1} - s^{\frac{- 1}{2}} + 1 - s^{- 1} + s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- \frac{3}{2}} d s$

Étape 4.58

Déplacez $1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{- 1} - s^{\frac{- 1}{2}} - s^{- 1} + s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- \frac{3}{2}} + 1 d s$

Étape 4.59

Déplacez $- s^{\frac{- 1}{2}}$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{- 1} - s^{- 1} + s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- \frac{3}{2}} - s^{\frac{- 1}{2}} + 1 d s$

Étape 4.60

Soustrayez $s^{- 1}$ de $s^{- 1}$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 0 + s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- \frac{3}{2}} - s^{\frac{- 1}{2}} + 1 d s$

Étape 4.61

Additionnez $0$ et $s^{\frac{- 1}{2}}$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- \frac{3}{2}} - s^{\frac{- 1}{2}} + 1 d s$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{- \frac{1}{2}} + s^{- \frac{3}{2}} - s^{\frac{- 1}{2}} + 1 d s$

Étape 5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{- \frac{1}{2}} + s^{- \frac{3}{2}} - s^{- \frac{1}{2}} + 1 d s$

Étape 5.3

Soustrayez $s^{- \frac{1}{2}}$ de $s^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{- \frac{3}{2}} + 0 + 1 d s$

Étape 5.4

Additionnez $s^{- \frac{3}{2}}$ et $0$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 d s$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{- \frac{3}{2}} d s + \int_{1}^{\sqrt{11}} d s$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $s^{- \frac{3}{2}}$ par rapport à $s$ est $- 2 s^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 2 s^{- \frac{1}{2}}]_{1}^{\sqrt{11}} + \int_{1}^{\sqrt{11}} d s$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$- 2 s^{- \frac{1}{2}}]_{1}^{\sqrt{11}} + s]_{1}^{\sqrt{11}}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Associez $- 2 s^{- \frac{1}{2}}]_{1}^{\sqrt{11}}$ et $s]_{1}^{\sqrt{11}}$ .

$- 2 s^{- \frac{1}{2}} + s]_{1}^{\sqrt{11}}$

Étape 9.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.2.1

Évaluez $- 2 s^{- \frac{1}{2}} + s$ sur $\sqrt{11}$ et sur $1$ .

$(- 2 {\sqrt{11}}^{- \frac{1}{2}} + \sqrt{11}) - (- 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}} + 1)$

Étape 9.2.2

Simplifiez

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Étape 9.2.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{\sqrt{11}}^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{11} - (- 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}} + 1)$

Étape 9.2.2.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{{\sqrt{11}}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{{\sqrt{11}}^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{11} - (- 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}} + 1)$

Étape 9.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{{\sqrt{11}}^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{11} - (- 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}} + 1)$

Étape 9.2.2.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{2}{{\sqrt{11}}^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{11} - (- 2 \cdot 1 + 1)$

Étape 9.2.2.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- \frac{2}{{\sqrt{11}}^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{11} - (- 2 + 1)$

Étape 9.2.2.6

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$- \frac{2}{{\sqrt{11}}^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{11} - - 1$

Étape 9.2.2.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{2}{{\sqrt{11}}^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{11} + 1$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{2}{{\sqrt{11}}^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{11} + 1$

Forme décimale :

$3.21842381 \dots$

Étape 11