Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{2} 3 \sqrt{4 u + 1} d u$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $u$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int_{0}^{2} \sqrt{4 u + 1} d u$

Étape 2

Laissez $u_{1} = 4 u + 1$ . Alors $d u_{1} = 4 d u$ , donc $\frac{1}{4} d u_{1} = d u$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Laissez $u_{1} = 4 u + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Différenciez $4 u + 1$ .

$\frac{d}{d u} [4 u + 1]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 u + 1$ par rapport à $u$ est $\frac{d}{d u} [4 u] + \frac{d}{d u} [1]$ .

$\frac{d}{d u} [4 u] + \frac{d}{d u} [1]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d u} [4 u]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $u$ , la dérivée de $4 u$ par rapport à $u$ est $4 \frac{d}{d u} [u]$ .

$4 \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d u} [1]$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + \frac{d}{d u} [1]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $u$ , la dérivée de $1$ par rapport à $u$ est $0$ .

$4 + 0$

Étape 2.1.4.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$4$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $u$ dans $u_{1} = 4 u + 1$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

Étape 2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Étape 2.3.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $u$ dans $u_{1} = 4 u + 1$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 2 + 1$

Étape 2.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$u_{upper} = 8 + 1$

Étape 2.5.2

Additionnez $8$ et $1$ .

$u_{upper} = 9$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ , $d u_{1}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$3 \int_{1}^{9} \sqrt{u_{1}} \frac{1}{4} d u_{1}$

Étape 3

Associez $\sqrt{u_{1}}$ et $\frac{1}{4}$ .

$3 \int_{1}^{9} \frac{\sqrt{u_{1}}}{4} d u_{1}$

Étape 4

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \sqrt{u_{1}} d u_{1})$

Étape 5

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $3$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{9} \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

Étape 5.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{1}}$ comme ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{9} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3}{4} \frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Évaluez $\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ sur $9$ et sur $1$ .

$\frac{3}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 7.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 7.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 7.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 7.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 7.2.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 7.2.5

Associez $\frac{2}{3}$ et $27$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 7.2.6

Multipliez $2$ par $27$ .

$\frac{3}{4} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 7.2.7

Annulez le facteur commun à $54$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.7.1

Factorisez $3$ à partir de $54$ .

$\frac{3}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 7.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 7.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 7.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{4} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 7.2.7.2.4

Divisez $18$ par $1$ .

$\frac{3}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 7.2.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{3}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Étape 7.2.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{3}{4} (18 - \frac{2}{3})$

Étape 7.2.10

Pour écrire $18$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4} (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Étape 7.2.11

Associez $18$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3})$

Étape 7.2.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

Étape 7.2.13

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.13.1

Multipliez $18$ par $3$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{54 - 2}{3}$

Étape 7.2.13.2

Soustrayez $2$ de $54$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{52}{3}$

Étape 7.2.14

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $\frac{52}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 52}{4 \cdot 3}$

Étape 7.2.15

Multipliez $3$ par $52$ .

$\frac{156}{4 \cdot 3}$

Étape 7.2.16

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{156}{12}$

Étape 7.2.17

Annulez le facteur commun à $156$ et $12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.17.1

Factorisez $12$ à partir de $156$ .

$\frac{12 \cdot 13}{12}$

Étape 7.2.17.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.17.2.1

Factorisez $12$ à partir de $12$ .

$\frac{12 \cdot 13}{12 (1)}$

Étape 7.2.17.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 \cdot 13}{12 \cdot 1}$

Étape 7.2.17.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{13}{1}$

Étape 7.2.17.2.4

Divisez $13$ par $1$ .

$13$

Étape 8